Výpočetní analýza nelineárních dynamických systémů

Bc. Sven Dražan

Master's thesis

Computational analysis of non-linear dynamic systems

Abstract:

Dynamika biochemických reakčních systémů může být za podmínek dostatečně vysokých koncentrací látek popsána soustavou diferenciálních rovnic. Řešení této soustavy lze numericky aproximovat užitím metod numerické simulace. Výběrem diskrétních bodů blízkých trajektoriím původního systému lze vytvořit diskretizace, nad nimiž lze ověřovat vlastnosti vyjádřené formulemi lineární temporální logiky. Specifickým problémem popisu chování dynamických reakčních systémů je problém iniciální podmínky, tedy nalezení takové množiny bodů, v níž začínají trajektorie splňující danou vlastnost. Tato práce představuje přístup jak pomocí dané diskretizace trajektorií řešení systému diferenciálních rovnic a metody počítající relaci vzdálenosti těchto diskretizací lze získat množinu reprezentativních diskretizací. Ověřením požadované vlastnosti nad množinou těchto reprezentantů lze usuzovat o celkovém chování všech trajektorií vycházejících z dané množiny iniciálních podmínek. Je formálně definována relace vzdálenosti a blízkosti diskretizací trajektorí a abstraktní algoritmus počítající množinu reprezentantů. Tento algoritmus je implementován a jeho možnosti evaluovány na množině několika malých dynamických systémů s dobře známou dynamikou.

Abstract:

The dynamics of biochemical reaction systems can be under conditions of sufficiently high concentrations described a set of ordinary differential equations. The solution of such system can be numericaly approximated by using methods of numerical simulation. By choosing discrete points sufficiently close to trajectories of the original system a discretization can be created above which properties described by formulae of Linear Temporal Logic may be evaluated. A special problem of describing the dynamics of reaction systems is the problem of initial conditions, ie. to find a set of points in which there is the begining of trajectories fulfilling a given property. This work introduces an approach by which if given an discretization of the trajectories of a system of ODEs and a method computing the proximity relation of such discretizations a set of representative discretizations can be obtained. By evaluating the given property on the set of representatns we can induce about the behaviour of the whole set of trajectories coming out of the given set of initial conditions. The proximity and distancy relations of discretizations of trajectories are formaly defined and an abstract algorithm is introduced. This algorithm is implemented and it's capabilites are evaluated on a set of small well studied dynamical systems

Keywords

dynamický systém, soustava diferenciálních rovnic, diskretizace, LTL, analýza vlastností

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 1. 2011

Thesis defence

• Date of defence: 9. 2. 2011
• Supervisor: RNDr. David Šafránek, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Luboš Brim, CSc.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Master programme / field:
Informatics / Parallel and Distributed Systems