Statistické úlohy v homogenních markovských řetězcích s aplikacemi

Bc. Jan Bráblík

Master's thesis

Statistical problems in homogeneous Markov chains with applications

Abstract:

V této diplomové práci se věnujeme vybraným statistickým metodám, které se používají při analýze homogenních markovských řetězců s diskrétním časem a konečnou množinou stavů. Prvním cílem je přehledné zpracování vybraných metod. Nejprve se zabýváme věrohodnostním bodovým odhadům, ze kterých vychází konstrukce Waldových, skórových a bootstrapových percentilových intervalů spolehlivosti pro počáteční pravděpodobnost a pravděpodobnost přechodu. Následně se v práci zabýváme statistickými metodami související s testováním vybraných hypotéz. Konkrétně se jedná o testování počátečních pravděpodobností a pravděpodobností přechodu pomocí Waldova testu a testu poměrem věrohodnosti, dále pak o test homogenity dvou vektorů počátečních pravděpodobností, test shody stochastických vektorů matice přechodu a test shody dvou matic přechodu. Posledním cílem práce je pak ukázka použití těchto popsaných metod na reálných datech. K tomu je použit v praktické části datový soubor zaznamenávající provedené nákupy 3898 zákazníků v obchodním řetězci mezi lety 2014 a 2015. Analýza je provedena v matematickém softwaru R.

Abstract:

In this thesis, we deal with selected statistical methods used in the analysis of homogeneous Markov chains with discrete time and finite sets of states. The first goal is to review the selected methods. Firstly, we discuss the credible point estimates underlying the construction of Wald, scoring, and bootstrap percentile confidence intervals for the initial probabilities and transition probabilities. Then we discuss the statistical methods associated with testing the selected hypotheses. In particular, we use testing the initial probabilities and transition probabilities using the Wald test and likelihood ratio test as well as the test of homogeneity of two vectors of initial probabilities, the test of equivalence of stochastic vectors, and the test of equivalence of two transition matrices. The final goal of the thesis is then to demonstrate the application of these described methods on real data. For this purpose, a dataset recording the purchases made by 3898 customers in a chain store between 2014 and 2015 is used in the practical part. The analysis is applied via mathematical software R.

Keywords

homogenní markovský řetězec, počáteční pravděpodobnost, pravděpodobnost přechodu, bootstrap, bodový odhad, interval spolehlivosti, testování hypotéz, homogeneous Markov chain, initial probability, transition probability, point estimate, confidence interval, hypothesis testing

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 5. 2023

Thesis defence

• Date of defence: 19. 6. 2023
• Supervisor: RNDr. Marie Budíková, Dr.
• Reader: doc. PaedDr. RNDr. Stanislav Katina, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Modelling and computations