Problematika řešení soustav polynomiálních rovnic ve výuce matematiky

Mgr. et Mgr. Soňa KÖNIGSMARKOVÁ

Disertační práce

Problems of solving systems of polynomial equations in mathematics teaching

Anotace:

Cílem práce je zmapovat současný stav v oblasti výuky a žákovských řešitelských strategií u polynomiálních rovnic a využití těchto soustav rovnic při řešení úloh na množiny bodů dané vlastnosti na různých typech škol a na základě toho navrhnout v odůvodněných případech obohacení výuky v této oblasti o metody odrážející současné trendy ve využití výpočetní techniky. Vzhledem k uvedenému cíli se autorka zaměřuje na současný stav výuky soustav polynomiálních rovnic z hlediska užívaných metod řešení na ZŠ, na SŠ a na fakultách připravujících matematiky, na řešení složitějších úloh, především úloh na množiny bodů vlastnosti budoucími učiteli matematiky a na potenciál systémů počítačové algebry pro zlepšení současného stavu. Práce je rozdělena na 9 kapitol, přičemž v prvních čtyřech kapitolách je odůvodněna aktuálnost tématu, je uveden historický vývoj řešení úloh na soustavy rovnic a především aktuální stav dané problematiky z pohledu postavení učiva ve vzdělávacích programech a výskytu příslušných úloh v učebnicích, přijímacích a maturitních zkouškách a v matematické olympiádě. Vzhledem k tématu práce jsou uvedeny ukázky řešení úloh elementárními metodami i metodami, které se opírají o teorii Gröbnerových bází a využití výpočetní techniky. Pátá kapitola vymezuje cíle práce, další tři kapitoly se věnují vlastnímu výzkumu na SŠ a VŠ, který se zabývá řešením soustav polynomiálních rovnic a řešením úloh na množiny bodů dané vlastnosti z hlediska volby metod řešení a výskytu chyb při jejich použití. V závěrečné kapitole jsou shrnuty výsledky výzkumu a uvedena některá doporučení pro výuku na střední škole i pro přípravu budoucích učitelů matematiky. Přílohy obsahují původní a na základě výzkumu upravený návrh učebního materiálu o metodách řešení soustav polynomiálních rovnic a řešení úloh na množiny bodů dané vlastnosti pro nadané studenty SŠ a studenty učitelství na VŠ.

Abstract:

The aim of this thesis is to map the current state of teaching and student problem solving strategies for polynomial equations. A substantial part of the work is devoted to the use of these systems of equations in solving problems of the loci of a given property at different types of schools. On this basis, where warranted, suggestions are made for enriching teaching in this area with methods reflecting current trends in the use of systems of computer algebra. Considering the above objectives, the author focuses on the current state of teaching systems of polynomial equations in terms of the methods of solution used at primary schools, secondary schools and faculties preparing teachers of mathematics. The author does not neglect the solution of more complex problems, especially problems of the loci of a given property, by future mathematics teachers. The potential of computer algebra systems for improving the current state is also mentioned. The thesis is divided into 9 chapters, with the first four chapters justifying the topicality of the topic. The historical development of the solution of problems on systems of equations and especially the current state of the subject from the point of view of the position of the curriculum and the occurrence of relevant problems in textbooks, entrance and final exams and in the Mathematical Olympiad are presented. Considering the topic of the thesis, examples of solving problems by elementary methods and methods based on the theory of Gröbner bases and the use of computer technology are given. The fifth chapter defines the objectives of the thesis. The next three chapters are devoted to the actual research at secondary and higher education institutions, which deals with the solution of systems of polynomial equations and the solution of problems of loci of a given property in terms of the choice of solution methods and the occurrence of errors in their use.The final chapter summarizes the research results and gives some recommendations for secondary school teaching and for the preparation of future mathematics teachers. Appendices contain an original and research-based draft of teaching material on methods of solving systems of polynomial equations and solving problems on sets of points given characteristics for gifted secondary school students and university teaching students.

Klíčová slova

akční výzkum, GeoGebra, matematický software, metody řešení soustav rovnic, množiny bodů dané vlastnosti, soustavy polynomiálních rovnic

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 30. 11. 2023

Obhajoba závěrečné práce

• Vedoucí: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc.

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH

Pedagogická fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Specializace v pedagogice / Teorie vzdělávání v matematice