Abstraktní derivace

Jakub BALOUN

Bakalářská práce

Abstract derivation

Anotace:

Abstraktní derivace jakožto zobrazení definované na okruhu, které je aditivní a splňuje pravidlo o derivaci součinu (neboli tzv. Leibnizovu formuli), je základním pojmem diferenciální algebry. V této práci je pojem derivace ještě poněkud zobecněn - je od ní požadována pouze platnost Leibnizovy formule. Cílem je prozkoumat vlastnosti takto definovaných zobrazení a nalézt souvislosti s jinými pojmy abstraktní algebry. Ukazuje se, že na spoustu známých vlastností běžných derivací na prostorech funkcí lze pohlížet jako na konsekvence pravidla o derivaci součinu. V~práci jsou přirozeně zobecněny některé základní pojmy z diferenciálního počtu a je zkonstruováno několik příkladů abstraktních derivací. Tato zobrazení jsou zkoumána na různých strukturách (čiselné obory, obory integrity s jednoznačným rozkladem, zobecněné asociativní algebry). Např. teorie tzv. lineárních derivací na zobecněných asociativních algebrách je pak aplikována na řešení ryze analytické úlohy, které by v mnoha případech bez tohoto algebraického přístupu bylo velice komplikované. Díky tomuto zobecnění pojmu derivace lze o množině všech derivací na dané struktuře dokázat některé zajímavé strukturální vlastnosti a také souvislosti s algebraickou strukturou homomorfismů jistých multiplikativních a aditivních grup.

Abstract:

The abstract derivation as a map defined on a ring that is additive and satisfies the product rule (or the so-called Leibniz formula) is a fundamental concept of differential algebra. In this paper, the notion of derivative is still somewhat generalized - only the validity of Leibniz's formula is assumed. The aim is to investigate the properties of mappings defined in this way and to find connections with other notions of abstract algebra. It turns out that many well-known properties of usual derivations on function spaces can be viewed as consequences of the product rule. In the paper, some basic notions of differential calculus are generalized and several examples of abstract derivations are constructed. These representations are studied on various structures (number fields, unique factorization domains, generalized associative algebras). For example, the theory of so-called linear derivations on generalized associative algebras is then applied to the solution of a purely analytic problem, which in many cases would be very complicated without this algebraic approach. Due to this generalization of the notion of derivation, it is possible to show some interesting structural properties about the set of all derivations on a given structure, as well as connections with the algebraic structure of certain homomorphisms of multiplicative and additive groups.

Klíčová slova

abstraktní derivace, Leibnizova formule, logaritmická derivace, moduly nad okruhy, diferenciální algebra

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 6. 5. 2024

Obhajoba závěrečné práce

• Vedoucí: RNDr. Pavel Ludvík, Ph.D.

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Přírodovědecká fakulta

Bakalářský studijní program / obor:
Matematika / Matematika