Postupné vlny v kvazilineárních reakčně-difuzních rovnicích

RNDr. Michaela ZAHRADNÍKOVÁ

Doctoral thesis

Travelling Waves in Quasilinear Reaction-Diffusion Equations

Abstract:

This thesis concerns scalar reaction-diffusion equations with p-Laplacian type diffusion and different types of continuous reaction. In our general setting, the density-dependent diffusion coefficient allows for degenerations and singularities at equilibria 0 and 1 as well as finitely many jump discontinuities between them. Under these assumptions, we study the existence and properties of travelling wave solutions which connect the steady states 0 and 1. Introducing a new concept of generalized solution, we transform the second-order problem on the real line for the unknown profile and its speed into a first-order problem on a bounded interval, which we then study in the sense of Carathéodory. The results for this first-order problem are of independent interest due to their applicability outside of our framework. We present sufficient conditions for the existence of travelling wave solutions in the case of bistable and monostable reaction, which extend the classical results obtained in more regular settings. It is revealed to be the combined influence of the reaction and diffusion terms which plays a key role in the existence and non-existence of travelling waves as well as their properties. Assuming power-type behaviour of these terms near 0 and 1, we then study how they affect, together with the value of $p$, the asymptotic properties of solutions. The main part of this work is based on our three published papers, devoted to the study of reaction-diffusion equations without convective effects, in which we focused separately on stationary waves, travelling waves in bistable equations and travelling waves in monostable equations. We present our methods and results in a unified manner to emphasize both the shared foundation and the differences among these cases. The final chapter concerns reaction-diffusion-convection equation with combustion-type reaction. Existence and non-existence results are derived under stronger regularity assumptions on the reaction and diffusion terms than in the reaction-diffusion case, generalizing established results for density-dependent diffusion without the p-Laplacian. Our findings have been submitted as a paper and are currently under review.

Abstract:

V této práci se zabýváme skalárními reakčně-difuzními rovnicemi s p-Laplaciánem v difuzním členu a různými typy spojitých reakcí. V našem obecném pojetí připouštíme, aby měl difuzní koeficient (závislý na hustotě) degenerace nebo singularity v ekvilibriích 0 a 1, jakož i konečně mnoho skokových nespojitostí mezi nimi. Za těchto předpokladů studujeme existenci a vlastnosti postupných vln, které propojují stacionární stavy 0 a 1. Zavedením nového typu zobecněného řešení transformujeme úlohu druhého řádu na reálné ose pro neznámý profil a jeho rychlost na úlohu prvního řádu na omezeném intervalu, kterou pak studujeme ve smyslu Carathéodoryho. Výsledky pro tuto úlohu prvního řádu mají samostatný význam vzhledem k jejich uplatnitelnosti i mimo rámec našich předpokladů pro úlohu druhého řádu. Uvádíme postačující podmínky pro existenci postupných vln v případě bistabilní a monostabilní reakce, které rozšiřují klasické výsledky získané za silnějších předpokladů. Klíčovou roli v existenci či neexistenci postupných vln a jejich vlastnostech přitom hraje společný vliv reakčního a difuzního členu. Za předpokladu mocninného chování těchto členů v blízkosti 0 a 1 pak studujeme, jak spolu s hodnotou p ovlivňují asymptotické vlastnosti řešení. Hlavní část této práce vychází z našich tří publikovaných článků, věnovaných studiu reakčně-difuzních rovnic bez konvekce, v nichž jsme se zabývali zvlášť stacionárními vlnami, postupnými vlnami v bistabilních rovnicích a postupnými vlnami v monostabilních rovnicích. Naše metody a výsledky prezentujeme jednotným způsobem, abychom zdůraznili jak společný základ všech zmíněných případů, tak rozdíly mezi nimi. Závěrečná kapitola je věnována úloze s konvekcí a reakčním členem vyskytujícím se v modelech spalování. Existenci a neexistenci řešení zde dokazujeme za silnějších předpokladů na reakční a difuzní členy než u rovnice bez konvekce a přímo tak zobecňujeme známé výsledky v případě difuze bez p-Laplaciánu. Náš článek na toto téma je v současné době recenzován.

Keywords

reakčně-difuzní rovnice, postupné vlny, profil vlny, difuze s p-Laplaciánem, difuze se singularitami a degeneracemi, nespojitá difuze, bistabilní reakce, monostabilní reakce, nelipschitzovské diferenciální rovnice, řešení ve smyslu Carathéodoryho, nehladký profil, konvekce

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 26. 1. 2024

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Prof. RNDr. Pavel Drábek, DrSc.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Mathematics / Matematika