O kategoriích algeber

Mgr. Jan Pavlík, Ph.D.

Doctoral thesis

On Categories of Algebras

Abstract:

Práce se zabývá teorií kategorií. Studujeme v ní konkrétní kategorie, zejména kategorie algeber a koalgeber. Tyto objekty jsou zobecněním pojmu algebra v klasickém smyslu univerzální algebry na množinách. Uvedeme několik druhů algeber a vztahy mezi jejich kategoriemi. Zavedeme pojem l-algebraických kategorií, který zahrnuje mnoho přirozených případů. Připomeneme definici variety od J. Adámka a H. E. Porsta na kokompletní kategorii založenou na řetězcové konstrukci volné algebry. Jedná se o kategoriální protějšek rovnicového zadání variety v klasické univerzální algebře. Ukážeme jiný přístup k těmto třídám včetně důkazu ekvivalence s výše uvedeným. Uvedeme také důležité vztahy těchto tříd k jiným třídám algeber. Zejména dokážeme, že každá varieta je algebraická, což spojuje dva různé kategoriální přístupy k varietám. Dále se zaměříme na otázku volných algeber. Protože řetězcová konstrukce nám pro vhodné funktory dává volné algebry, ukážeme, jak z ní pomocí výsledků G. M. Kellyho z r. 1980 můžeme odvodit existenci volné algebry ve varietě. Poslední kapitola se věnuje vztahům mezi existencí volné algebry, Alg-univerzálních funktorů a kohustotních monád příslušného zapomínajícího funktoru. Výsledkem je další charakterizační věta pro monadické kategorie.

Abstract:

The thesis is on category theory. Concrete categories are investigated, namely the categories of algebras and coalgebras. These objects are category-theoretical generalizations of algebras in the sense of the classical universal algebra on sets. Numerous kinds of algebras are recalled showing the relations between their categories. A concept of l-algebraic categories is introduced including many natural examples. For the cocomplete base category, the definition of variety by J. Ad\'{a}mek and H. E. Porst is recalled. It is based on the concept of free-algebra chain construction which enables a categorical counterpart to the equational presentation of varieties in the classical universal algebra. A different approach to these classes is presented proving its equivalence with the original one. Moreover, their relationships to other kinds of algebras are shown. Namely, each variety is proved to be algebraic, which connects two different categorical approaches to varieties. Next focus is on the concept of freeness. Since the free-algebra chain construction yields the free algebra for suitable functors, it is shown how to use this fact together with the results of G. M. Kelly from 1980 to obtain the corresponding property for the free algebras in a variety. The final chapter is devoted to the problem of the relationship between the existences of free objects, Alg-universal functors and codensity monads for a given concrete category. This results in another characterization of monadic categories.

Keywords

Volná algebra, Koalgebra, Varieta, Adjunkce, Monáda, Kohustotní monáda, Free algebra, Coalgebra, Variety, Adjunction, Monad, Codensity Monad

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 1. 7. 2010

Thesis defence

• Date of defence: 16. 9. 2010
• Supervisor: prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc.
• Reader: doc. RNDr. Jiří Velebil, Ph.D., prof. H.E. Porst

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Algebra, Number Theory and Mathematical Logic