Prvočísla, jejich vybrané vlastnosti a aplikace

Jana Marhanová

Bachelor's thesis

Primes, their selected properties and applications

Abstract:

Přirozená čísla mající právě dva různé přirozené dělitele, tedy prvočísla, hrají stěžejní roli v elementární aritmetice, díky čemuž se s nimi lidé potkávají a potýkají již od nepaměti. Do dnešních dní byla objevena celá řada pozoruhodných a často velmi důležitých vlastností těchto čísel. Další řada otázek souvisejících s prvočísly, např. s jejich rozložením na číselné ose, zůstává stále nezodpovězena. Zaměřili jsme se na hluboké souvislosti mezi prvočísly a dalšími disciplínami matematiky, např. na tzv. Riemannovu hypotézu. Dokázali jsme je i prakticky využít, např. v tzv. RSA šifrování či při jedenáctkovém samodetekujícím kódu. Tato bakalářská práce si klade za cíl čtenáře seznámit s vybranými vlastnostmi prvočísel, včetně důkazů v těch případech, kdy to bude vhodné a zejména možné. Práce dále naznačí čtenáři v čem tkví souvislost mezi prvočísly a Riemannovou hypotézou, seznámí jej se základním principem metody RSA, případně dalšími vhodnými aplikacemi prvočísel v matematice.

Abstract:

Natural numbers with two different natural divisors, called prime numbers, are playing a key role in elementary arithmetic, thanks to which people have come across them since the beginning of time. To this day, there have been discovered a number of remarkable and often very important properties of these numbers. There are lots of alternative questions related to prime numbers, which remains unanswered, for example the location of prime numbers on the numerical axis. We focused on deep context between the prime numbers and other mathematical disciplines, namely Riemann hypothesis. We also discribed where they can be used, for instance in RSA algorithm and in eleven self-detecting code. Main purpose of this bachelor thesis is to familiarize readers with selected properties of prime numbers, including proofs in which it would be appropriate and possible. Thesis also informs about the relationship between the prime numbers and the Riemann hypothesis, introduces the main principle of the RSA algorithm, eventually other applications of prime numbers in mathematics.

Keywords

prvočísla, testování prvočíselnosti, Mersennova prvočísla, Fermatova prvočísla, Riemannova hypotéza, metoda RSA, Ulamova spirála

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 4. 2021

Thesis defence

• Supervisor: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Bachelor programme / field:
Mathematics / MA-IF