Základy geometrie komplexních čísel

Mgr. Pavel Boháč

Rigorózní práce

Elements of the geometry of complex numbers

Anotace:

Tato rigorózní práce se zabývá využitím komplexních čísel v planimetrii. Svým obsahem vychází zejména z předchozí autorovy diplomové práce, přitom ji doplňuje a rozšiřuje v úplné a soběstačné dílo. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola je věnována klíčovým poznatkům geometrie komplexních čísel. Zabývá se krom stručného seznámení s komplexními čísly a jejich geometrickým významem zejména kolinearitou tří různých bodů v rovině, základními vlastnostmi přímek, otázkami spojenými s orientovanými i neorientovanými úhly a na závěr ji doplňuje několik výsledků týkajících se kružnic. Druhá kapitola navazuje studiem koncyklicity a kolinearity čtyř různých bodů v rovině pomocí jejich dvojpoměru. Je zakončena pojednáním o harmonické čtveřici bodů a její souvislosti s geometrickou optikou. Třetí kapitola pak podává výklad základních vlastností trojúhelníků a podrobně zkoumá jejich podobnost. Konečně čtvrtá a poslední kapitola je pojata jako kolekce dvanácti významných tvrzení geometrie v rovině, která jsou dokázána pomocí nástrojů předchozích kapitol.

Abstract:

This rigorous thesis deals with applications of complex numbers in planimetry. Its content follows especially previous author's master thesis complementing and extending it in a complete and self-sufficient work. This thesis is divided into four chapters. The first one is dedicated to the key knowledge of the geometry of complex numbers. Besides a brief introduction to complex numbers and their geometrical interpretation it deals mainly with the collinearity of three distinct points in plane and basic properties of straight lines, with the issues related to both oriented and unoriented angles and it is completed by several statements regarding circles. The second chapter continues studying concyclicity and collinearity of four distinct points using their cross ratio. It concludes with a discussion on the harmonic tetrad and its connection to the geometrical optics. The third chapter then provides the theory of fundamental properties of triangles and examines closely their similarity. Finally, the fourth and last chapter is conceived as a collection of twelve significant statements of plane geometry proved by tools given in the preceding chapters.

Klíčová slova

komplexní čísla, geometrie, komplexní rovina, planimetrie, complex numbers, geometry, complex plane, planimetry

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 30. 9. 2013

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 9. 12. 2013
• Oponent: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc., RNDr. Jaroslav Švrček, CSc.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Rigorózní řízení / obor:
Matematika / Učitelství matematiky pro střední školy