Matematické modelování transportu neutronů

Ing. Milan HANUŠ

Doctoral thesis

Mathematical Modeling of Neutron Transport

Abstract:

The subject of this work is computational modeling of neutron transport relevant to economical and safe operation of nuclear facilities. The general mathematical model of neutron transport is provided by the linear Boltzmann's transport equation and the thesis begins with its precise mathematical formulation and presentation of known conditions for its well-posedness. In the following part, we study approximation methods for the transport equation, starting with the classical discretization of energetic dependence and followed by the review of two most widely used methods for approximating directional dependence (the SN and PN methods). While these methods are usually presented independently of each other, we show that they can be put into a single framework of Hilbert space projection techniques. This fact is then used in conjunction with the results of the first part to rigorously prove rotational invariance of the PN equations and to analyze convergence of the basic iterative scheme for solving the SN equations. This part of the thesis is concluded by the description of a finite element method for the final discretization of spatial dependence and a discussion of the solution of the resulting system of algebraic equations. The main new results are contained in the following two chapters focusing on the simplified PN approximation, which is a computationally more convenient albeit not as mathematically well-founded variant of the PN approximation. We prove well-posedness of the weak form of the SP3-SP7 equations and present a new way of deriving the equations from an alternative set to the PN equations, obtained from special linear combination of spherical harmonics -- the so-called Maxwell-Cartesian spherical harmonics, hence the abbreviation MCPN approximation. We explicitly show how the MCP3 equations may be transformed to SP3 equations. The final part of the thesis contains numerical examples of the SN and hp-adaptive SPN calculations using a neutronics framework that has been implemented by the author to the $hp$-adaptive finite element library Hermes2D. The SP1 (or diffusion) model also serves as a basis of a real-world reactor calculation suite co-developed by the author for the purposes of ''Project TA01020352 -- Increasing utilization of nuclear fuel through optimization of an inner fuel cycle and calculation of neutron-physics characteristics of nuclear reactor cores''. An example benchmark used to test the code concludes the thesis.

Abstract:

Práce se zabývá matematickým a numerickým modelováním transportu neutronů, se zaměřením na výpočty neutronových charakteristik jaderných reaktorů. Obecný matematický model transportu neutronů je reprezentován lineární Boltzmannovou transportní rovnicí. Práce začíná její přesnou matematickou formulaci a přehledem výsledků týkajících se její řešitelnosti ve druhé kapitole. Následující kapitoly jsou zaměřeny na přibližné metody řešení této rovnice. Po stručném popisu klasické diskretizace energetické závislosti je hlavní část třetí kapitoly věnována aproximaci směrové závislosti pomocí dvou stěžejních metod -- metody diskrétních směrů (SN) a metody sférických harmonických funkcí (PN). Zatímco obvykle jsou tyto metody formulovány nezávisle, v práci je ukázáno, jak je lze obě popsat pomocí jednotného rámce jako projekci na podprostor Hilbertova prostoru funkcí definovaných na sféře. Této skutečnosti je posléze využito při důkazu rotační invariantnosti PN rovnic a při konvergenční analýze základní iterační metody pro řešení SN soustavy. Třetí kapitola je zakončena popisem aplikace metody konečných prvků na finální diskretizaci prostorové závislosti. Hlavní nové výsledky této práce se týkají metody zjednodušených sférických harmonických funkcí (SPN), jež představuje výpočetně efektivní aproximaci metody PN. Ve čtvrté kapitole je standardním způsobem odvozena slabá formulace SPN rovnic a dokázána její korektnost pro N = 3,5,7. V páté kapitole je pak odvozena nová soustava parciálních diferenciálních rovnic odpovídající PN aproximaci (MCPN aproximace). Na příkladu MCP3 aproximace je ukázáno, jak lze využít tenzorovou strukturu těchto rovnic k transformaci na soustavu ekvivalentní s SP3 aproximací. V šesté kapitole je popsána implementace SN a SPN aproximací do knihovny Hermes2D a na několika příkladech ukázány základní vlastnosti těchto aproximací. Speciální pozornost je věnována implementaci nespojité Galerkinovy metody (pro SN$aproximaci) a modifikaci standardního indikátoru chyby pro hp-adaptivitu v Hermes2D pro SPN aproximaci. Práce je ukončena ukázkou řešení standardního 3D benchmarku pomocí mnohagrupového difúzního kódu, který autor na základě zkušeností s vývojem neutronických modulů v knihovně Hermes2D vyvinul pro účely projektu ''TA01020352 -- Zvýšení využití jaderného paliva pomocí optimalizace vnitřního palivového cyklu a výpočtu neutronově-fyzikálních charakt. aktivních zón jaderných reaktorů''.

Keywords

transport neutronů, Boltzmannova rovnice, kritičnost reaktoru, vícegrupová aproximace, PN aproximace, zjednodušená PN aproximace, metoda diskrétních směrů, iterace zdroje, ray efekt, směrová kvadratura, projekce, difúze, sférické harmonické funkce, korektnost, slabá formulace, Maxwellovy kartézské sférické harmonické funkce, tenzor, MCPN aproximace, konečné prvky, nespojitá Galerkinova metoda, hp-adaptivita, algebraická metoda více sítí, Hermes2D, Dolfin

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 1. 2015

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics