Persistentní homologie ve výpočetní topologii

Bc. Peter Synak

Diplomová práce

Persistent homology in computational topology

Anotace:

Cílem této práce je přístupným způsobem zavést základní struktury a vlastnosti persistentní homologie a demonstrovat je na aplikaci. V první kapitole definujeme potřebné nástroje, jako jsou persistentní grupy, persistentní diagramy a algoritmus na výpočet persistence, přičemž klademe důraz na myšlenky, které inspirovaly vznik teorie. V druhé kapitole se zaměřujeme na dopad spojité změny vstupních dat na měřenou persistenci, což vede k důkazu stability persistence -- konceptu, který má široké uplatnění v aplikacích. V poslední kapitole demonstrujeme zavedené pojmy na důkazu věty, jež dává do souvislosti délku a křivost dvou uzavřených hladkých rovinných křivek.

Abstract:

The aim of this thesis is to present in an accessible way the basic structures and properties of the theory of persistent homology and demonstrate them in an application. In the first chapter we define the necessary tools, such as persistent homology groups, persistent diagrams and the persistence algorithm, along with the ideas behind these concepts. In the second chapter we study the effect of continuous change of data on persistence, and prove the stability property, which is fundamental application wise. In the last chapter we demonstrate the concepts in an application, by using persistence to prove a connection between the length and total curvature of two closed smooth plane curves.

Keywords

simpliciální komplex, filtrace, persistentní homologie, persistentní diagram, algoritmus persistence, stabilita, krotká funkce, simplicial complex, filtration, persistent homology, persistence diagram, persistence algorithm, stability, tame function

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 7. 1. 2015

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 9. 2. 2015
• Vedoucí: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.
• Oponent: Bc. Lukáš Vokřínek, PhD.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Magisterský studijní program / obor:
Matematika / Matematika s informatikou