Aplikace Lieových grup na diferenciální rovnice

Bc. Věra Stanzelová

Master's thesis

Applications of Lie Groups to Differential Equations

Abstract:

V této diplomové práci se věnujeme popisu Lieovy metody symetrií jakožto elegantního a systematického přístupu k řešení obyčejných diferenciálních rovnic, přičemž hlavní důraz klademe především na podrobnou ilustraci na příkladech doplněných obrázky. Stěžejní myšlenka metody spočívá v hledání Lieových grup transformací, akcí grup permutujicích integrální křivky. Tyto spojité transformační grupy jsou pak klíčem k řešení diferenciálních rovnic, přitom využíváme jejich infinitezimální generátory. Při řešení rovnic prvního řádu se setkáváme se zdánlivě nesouvisejícími speciálními technikami řešení, které právě Lieova teorie zastřešuje. Obvyklý způsob jejich řešení je převod do kanonických proměnných, což lze využít i ke snížení řádu u rovnic vyšších řádů. Pokud chceme snížit řád o r, požadujeme, aby příslušné infinitezimální generátory tvořily strukturu řešitelné Lieovy algebry.

Abstract:

In this thesis we mainly focus on describing Lie symmetry analysis as an elegant and systematic approach to solving ordinary differential equations. The primary emphasis is placed on a detailed illustration through examples accompanied by visuals. The essential idea of the method involves the search for Lie groups of transformations, group actions permuting integral curves. These continuous transformation groups serve as the key to solving differential equations, utilizing their infinitesimal generators in the solution process. When dealing with first order equations, seemingly unrelated special solution techniques are encountered, which Lie's theory effectively comprehends. The typical approach to solving these equations includes a transformation into canonical variables, a method that can also be exploited for reducing the order of the higher order equations. If the aim is to decrease the order by r, it is required that the corresponding infinitesimal generators form the structure of a solvable Lie algebra.

Keywords

Lieova grupa, Symetrie diferenciálních rovnic, Infinitezimální generátor, Podmínka invariance, Integrační faktor, Kanonické proměnné, Standardní metody řešení ODR, Lieova algebra, Diferenciální invarianty, Invariantní řešení

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 4. 1. 2024

Thesis defence

• Date of defence: 15. 2. 2024
• Supervisor: doc. RNDr. Lenka Přibylová, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Differential equations and their applications