Field equations of General relativity and Einstein-Cartan theory

Bc. Radek Suchánek

Master's thesis

Abstract:

V této diplomové práci se budeme věnovat zejména matematickým aspektům Einsteinovy obecné teorie relativity (GR) a Einstein-Cartanovy teorie (EC), které se zabývají popisem gravitace. Každou z těchto teorií je možné studovat i pro dimenzi jinou než čtyři, my však svou pozornost zaměříme pouze na čtyřdimenzionální časoprostor. Gravitační pole je popisováno pomocí nedegenerovaného metrického tenzorového pole signatury (3,1), které je kovariantně konstantní. Pomocí principu stacionární akce je možné odvodit rovnice popisující dynamiku grativačního pole. V případě GR předpokládáme, že je časoprostor pseudo-Riemannovská hladká varieta vybavená Levi-Civitovou konexí, tj. konexí s nulovou torzí. EC předpoklad nulové torze nepoužívá, čímž se konexe stává další proměnnou ve funkcionálu akce, z nějž se rovnice pole odvozují. Je-li však torze nulová, pak se EC redukuje na GR. Z tohoto důvodu se dá Einstein-Cartanova teorie považovat za zobecnění Einsteinovy teorie relativity.

Abstract:

In this thesis we will mainly study the mathematical aspects of gravitational theories, namely the Einstein general theory of relativity (GR) and the Einstein-Cartan theory (EC). It is possible to study both GR and EC in dimensions other then four nevertheless, we will be focused on the case of four-dimensional spacetime. Gravitational field is described with a non-degenerate metric tensor field with signature (3,1) which is covariantly constant. Using the principle of stationary action, it is possible to derive the equations describing the dynamics of the gravitational field. In GR, the spacetime is assumed to be a pseudo-Riemannian smooth manifold equipped with the Levi-Civita connection, i.e. the torsion of connection vanishes. In EC, the requirement for the torsion tensor to vanish is dropped and the connection occurs as another independent variable in the action functional from which the field equations are derived. If the torsion vanishes then EC reduces to GR. This is the reason to consider Einstein-Cartan theory to be a generalization of Einstein's theory of relativity.

Keywords

variace, funkcionál akce, princip stacionární akce, časoprostor, rovnice geodetik, metrický tenzor, konexe, Levi-Civitova konexe, Christoffelovy symboly, Riemannova křivost, Ricciho křivost, skalární křivost, obecná teorie relativity, stress-energy tenzor, Einsteinovy rovnice pole, linearizovaná gravitace, ADM 3+1 formalismus, diferenciální forma, forma konexe, forma křivosti, forma torze, Einstein-Cartanova teorie, metrický-afinní prostor, Riemann-Cartanův prostor, spin tenzor, Einstein-Cartanovy rovnice pole, variation, action functional, principle of stationary action, spacetime, geodetic equations, metric tensor, connection, Levi-Civita connection, Christoffel symbols, Riemannian curvature, Ricci curvature, scalar curvature, general theory of relativity, stress-energy tensor, Einstein field equations, linearized gravity, ADM 3+1 formalism, differential form, connection form, curvature form, torsion form, Einstein-Cartan theory, metric-affine space, Riemann-Cartan space, spin tensor, Einstein-Cartan field equations

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 4. 1. 2018

Thesis defence

• Date of defence: 14. 2. 2018
• Supervisor: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Geometry