Parciální dynamické rovnice na diskrétních prostorových oblastech

RNDr. Jonáš VOLEK

Doctoral thesis

Partial dynamic equations on discrete spatial domains

Abstract:

The dissertation thesis presents our recent results about the partial dynamic equations on discrete spatial domains (so-called lattices). These problems arise from the modeling of processes on spatially structured environment (e.g., cells, crystal lattices, electronic images). Consequently, we study partial equations with discrete spatial variable and suppose time variable being either continuous, discrete or, generally, from a time scale. The thesis is divided into two parts. The first part is a commented overview with historical context. We summarize the history of difference and differential equations and introduce the modeling of processes described via partial dynamic equations on discrete spatial domains. We derive conservation laws and then explain how transport and diffusion equations arise. Next, we present theoretical results for transport equation. We derive the explicit formula for the solution in the linear case and prove various properties for the nonlinear equation. Further, we study the reaction-diffusion equations and show similar properties. We also discuss implicit discretization of the reaction-diffusion equation. Finally, we prove the existence for discrete boundary value problems for the analysis of stationary solutions. The second part of the dissertation thesis is composed of six appendices containing the original publications. These papers contains all technical details for interested readers.

Abstract:

Tato disertace prezentuje naše výsledky týkající se parciálních dynamických rovnic na oblastech s diskrétní prostorovou proměnnou (tzv. mřížkách). Tyto problémy slouží k modelování procesů probíhajících v prostorově strukturovaném prostředí (např. buňkách, krystalových mřížkách, elektronických obrázcích). Proto studujeme parciální rovnice s diskrétní prostorovou proměnnou a časovou proměnnou uvažujeme buď spojitou, diskrétní nebo z obecné časové škály. Práce je rozdělena do dvou částí. První část disertace lze vnímat jako komentář s historickými souvislostmi. Popisujeme zde nejen historii diferenčních a diferenciálních rovnic, ale i modelování procesů, které lze popsat parciálními dynamickými rovnicemi na oblastech s diskrétní prostorovou proměnnou. Odvozujeme zákony zachování a následně vysvětlujeme, jak z nich vznikají transportní a difúzní rovnice. Poté představujeme teoretické výsledky, které se zabývají transportní rovnicí. V lineárním případě odvozujeme explicitní řešení a pro nelineární rovnici dokazujeme rozličné vlastnosti (např. principy maxima, globální existenční věty). Poté se zabýváme reakčně-difúzní rovnicí na mřížkách, pro kterou studujeme podobné teoretické vlastnosti. Diskutujeme také otázky týkající se implicitní diskretizace reakčně-difúzní rovnice. Na závěr, abychom byli schopni studovat stacionární řešení, dokazujeme existenci pro diskrétní okrajové úlohy. Druhá část práce se skládá ze šesti publikací. Tyto články jsou přiloženy v originální podobě a obsahují všechny technické detaily pro zainteresovaného čtenáře.

Keywords

parciální dynamické rovnice, mřížky, transportní rovnice, reakčně-difúzní rovnice, existence, jednoznačnost, principy maxima, variační metody

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 21. 12. 2016

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Mathematics / Applied Mathematics