Electrostatics and magnetostatics on the hypersphere

Bc. Michal Valentík

Bachelor's thesis

Abstract:

Tato bakalářská práce se zabývá Poissonovou rovnicí pro skalární a vektorový potenciál elektrického a magnetického pole. Pomocí jazyka diferenciálních forem převedeme Laplaceův operátor do hypersférických souřadnic. S předpokladem, že řešení Poissonovy rovnice je separabilní najdeme vlastní funkce Laplaceova operátoru - hypersférické kulové funkce. Tyto vlastní funkce tvoří ortogonální bázi na prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na hypersféře. V důsledku toho můžeme vyjadřit elektrostatický potenciál pro jakoukoli funkci hustoty náboje, jejíž střední hodnota an hypersféře je nulová, jako zobecněnou Fourierovu řadu s bází tvořenou hypersférickými harmonickými funkcemi. Ukázalo se, že řešení Poissonova rovnice pro magnetostatický vektorový potenciál je poměrně časově náročný problém a v této práci jsme neposkytli jeho řešení.

Abstract:

This bachelor's thesis addresses the Poisson equation for the scalar and vector potentials of the electric and magnetic fields respectively. We express the Laplace operator in the hyperspherical coordinates using the language of differential forms. With the assumption that the solution of the Poisson equation for the electrostatic potential is separable, we find the eigenfunctions of the Laplace operator - hyperspherical harmonics. These eigenfunctions form an orthogonal basis on the space of square-integrable functions. Consequently, we can express the electric potential for any charge density whose mean value over the sphere is zero in the form of a generalized Fourier series with hyperspherical harmonics as the basis. The Poisson equation of the magnetostatic vector potential proved to be a rather time-consuming problem and in this thesis, we do not provide any solution for it.

Keywords

electrostatics, magnetostatics, Gegenbauer polynomials, hyperspherical harmonics, hyperspherical coordinates, Laplace--de Rham operator, Poisson equation, elektrostatika, magnetostatika, Gegenbauerovy polynomy, hypersférické harmonické funkce, hypersférické souřadnice, Laplace--de Rhamův operator, Poissonova rovnice

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 22. 5. 2024

Thesis defence

• Date of defence: 26. 6. 2024
• Supervisor: Mgr. Michael Krbek, Ph.D.
• Reader: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Physics / Physics