Structural and Geometric Graph Theory and Algorithmic Metatheorems

RNDr. Filip Pokrývka

Disertační práce

Anotace:

Základním algoritmickým problémem v teorii konečných modelů je ověřování modelů na relačních strukturách. V současné době se aktivně zkoumá nalezení podtříd grafů, na kterých je ověřování modelů prvního řádu (FO) fixně parametricky tractabilní (FPT), protože ověřování FO modelů na obecných grafech je AW[*]-těžké. Zaměřujeme se na složitost ověřování FO modelů různých tříd průnikových grafů (intervalové grafy, permutační grafy, kruhové grafy) a zkoumáme podtřídy, kde je ověřování FO modelů efektivně vypočitatelné, tj. připouští FPT algoritmus. Bonnet a kol. nedávno zavedli grafový parametr dvojičková šířka a poskytli FPT algoritmus pro ověřování FO modelů na třídách grafů s omezenou dvojičkovou šířkou. Existují příklady tříd grafů, kde dvojičková šířka určuje hranici mezi tractabilním a netractabilním ověřováním FO modelů na dědičných podtřídách. Jedním takovým příkladem je třída permutačních grafů, ke které přidáváme kruhové grafy a intervalové grafy. Problém splnitelnosti CNF formulí (SAT) je dalším metaproblémem založeným na propoziční logice. Zkoumáme složitost ještě obecnějšího problému, počítání modelů, parametrizovaného dvojičkovou šířkou grafů spojených s formulami (incidenční grafy, primární grafy atd.) a počtem literálů nastavených na pravdu. Výpočet rozkladu dvojičkovej šířky (kontrakční sekvence) je NP-těžký v obecném případě, i pro grafy s dvojičkovou šířkou 4. Zaměřujeme se na grafy s malou dvojičkovou šířkou (nejvýše 2 a nejvýše 3) v řídkém prostředí a ukazujeme, že kontrakční sekvence pro řídké grafy s dvojičkovou šířkou nejvýše 2 může být efektivně aproximována, protože má omezenou stromovou šířku. Také ukazujeme, že tento přístup nefunguje pro řídké třídy s dvojičkovou šířkou nejvýše 3, protože obsahují velké mříže. Dalším výsledkem této práce je aplikace práce Blumensatha a Courcella o šířce kliky relačních struktur a ověřování modelů MSO1. Výsledkem je, že poskytujeme lineární FPT algoritmy řešící některé kombinatorické geometrické problémy. K tomu potřebujeme definovat šířku kliky typu uspořádání bodové konfigurace.

Abstract:

A fundamental algorithmic problem in finite model theory is model checking on relational structures. A currently active area of research focuses on finding graph subclasses on which first-order (FO) model checking is fixed-parameter tractable (FPT), since FO model checking on general graphs is AW[*]-hard. We focus on the complexity of FO model checking of various intersection graph classes (interval graphs, permutation graphs, circle graphs), and study the subclasses where FO model checking is computable efficiently, i.e. admits an FPT algorithm. Bonnet et al. recently introduced the graph parameter twin-width and provided an FPT algorithm for FO model checking on graph classes of bounded twin-width. There are examples of graph classes where twin-width defines the border between tractable and intractable FO model checking on hereditary subclasses. One such example is the class of permutation graphs, and we add circle graphs and interval graphs to the list. Satisfiability problem of CNF formulas (SAT) is another meta-problem based on propositional logic. We study the complexity of even more general problem Model Counting, parameterized by the twin-width of the graphs associated with formulas (incidence graphs, primal graphs etc.) and the number of literals set to true. Computing a twin-width decomposition (contraction sequence) is NP-hard in the general case, even for the graphs of twin-width 4. We focus on the graphs of small twin-width (at most 2 and at most 3) in the sparse setting and show that a contraction sequence for sparse graphs of twin-width at most 2 can be efficiently approximated, because it has bounded tree-width. We also show that this approach doesn’t work for sparse classes of twin-width at most 3, because they contain large grids. Another result in this thesis is the application of work of Blumensath and Courcelle about clique-width of relational structures and MSO 1 model checking. As a result, we provide linear FPT algorithms solving some combinatorial geometry problems. To do that, we need to define the clique-width of the order type of a point configuration.

Keywords

FO model checking, MSO model checking, SAT, fixed-parameter tractability, twin-width, clique-width, point configurations

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 28. 6. 2024

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 8. 11. 2024
• Vedoucí: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.
• Oponent: Assoc. Prof. O-joung Kwon, Ph.D., Assoc. Prof. Michal Pilipczuk, PhD

Masarykova univerzita

Fakulta informatiky

Doktorský studijní program / obor:
Informatika / Fundamenty informatiky