Věty o pevných bodech

Martina Hejdová

Bachelor's thesis

Fixed-point theorems

Abstract:

Cílem práce je shrnout základní poznatky o pevných bodech. Existence pevného bodu je jednou z vlastností zobrazení, která má v matematické analýze svého využití. Tato teorie je velmi obsáhlá, já se však ve své práci omezím pouze na případ zobrazení množiny v jednorozměrném a dvourozměrném euklidovském prostoru. V úvodní kapitole jsem se věnovala opakování a souhrnu některých definicí a vět, které budou při práci využity. V druhé kapitole se budu zabývat situací zobrazení uzavřeného intervalu, konkrétně pak situací, kdy je interval zobrazen na sebe, do sebe a přes sebe. Na závěr kapitoly je uvedena iterační metoda, s jejíž pomocí lze také pevný bod získat a problematika konvergence iterační posloupnosti. Třetí kapitola je věnovaná zobrazení v dvourozměrném euklidovském prostoru, konkrétně zobrazením čtverce, stejně jako v předchozím případě postupně do sebe, na sebe a přes sebe. Na závěr kapitoly je opět zmíněná iterační metoda. V poslední kapitole jsou popsány některé aplikace vět o pevných bodech včetně konkrétních příkladů zahrnujících úlohy o pevných bodech. Doufám, že přečtení této práce bude pro čtenáře přínosem, objasní mu základní poznatky o pojmu pevného bodu jako takového, jeho existenci a jednoznačnosti a případně základní matematické aplikace těchto poznatků

Abstract:

The purpose of this work is to summarize main knowledge of fixed points. Existence of a fixed point is one of the properties of a mapping which has a wide usage. This theory is very wide so I restrict to mapping in one-dimensional and two-dimensional Euclidean space. Elementary definition and lemmas of mathematical analysis, which will be used in the next parts of this work, are mentioned in the first chapter. The situation in one-dimensional Euclidean space, concretely the mapping of a close interval, and an iteration method are illustrated in the second chapter. In the third part of the work, I describe a two-dimensional situation, the mapping of a square and the iteration method. Applications and examples are in the last chapter

Keywords

pevný bod, funkce, zobrazení, zobrazení intervalu, Brouwerova věta, zobrazení čtverce, kontraktivní zobrazení, iterační metoda

Keywords

fixed point, function, mapping, Brouwer fixed point theorem, mapping of an close interval, mapping of a square, contraction, iteration method

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 20. 11. 2007

Thesis defence

• Date of defence: 19. 5. 2003
• Supervisor: Pavla Kouřilová
• Reader: Tomáš Fürst

Univerzita Palackého

Přírodovědecká fakulta

Bachelor programme / field:
Aplikovaná matematika / Matematika-ekonomie se zaměřením na bankovnictví