Okrajové problémy s časovou singularitou.

Mgr. Martin ROHLEDER

Doctoral thesis

Abstract:

This dissertation deals with the second order ordinary differential equations with possible time singularity at the origin, which are studied in general on the unbounded interval. These investigated equations are the generalization of the singular differential equations, which are found in many sciencies, especially in hydrodynamics. This study investigates two types of generalizations of these model equations - equations without phi-Laplacian and with phi-Laplacian - together with the boundary conditions at zero and infinity. These conditions as well as conditions for the data functions of our problem are chosen with respect to the original hydrodynamic model and with respect to a specific type of searched solution - so-called bubble-type solution. The study of boundary value problem is transformed into investigation of initial value problems. The thesis investigates especially the existence and uniqueness of solutions of these initial value problems and their asymptotic properties. The essential part of the thesis is dedicated to the study of specific types of solutions depending on their supremum - damped, homoclinic and escape solutions. We study the existence of these individual types of solutions and their asymptotic properties. In the case of equations without phi-Laplacian, considerable attention is devoted to the damped solutions and conditions guaranteeing their oscillatory behaviour. In the case of equations with phi-Laplacian, we study especially the escape solutions and criteria for their unboundedness.

Abstract:

Tato disertační práce se zabývá problematikou obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s možnou časovou singularitou v počátku, studovaných obecně na neomezeném intervalu. Tyto vyšetřované rovnice jsou zobecněním singulárních diferenciálních rovnic, jež se vyskytují v mnoha oblastech vědy, obzvláště pak v hydrodynamice. V práci jsou vyšetřovány dva typy zobecnění těchto modelových rovnic, a to rovnice bez phi-Laplaciánu a s phi-Laplaciánem. Dané rovnice jsou vyšetřovány spolu s okrajovými podmínkami v nule a nekonečnu. Tyto podmínky, jakož i podmínky na datové funkce úlohy, jsou voleny s ohledem na původní hydrodynamický model a na specifický typ jeho hledaného řešení - tzv. bublinové řešení. Studium okrajové úlohy je převedeno na vyšetřování počátečních úloh. Práce se zabývá zejména otázkou existence a jednoznačnosti řešení těchto počátečních úloh a jejich asymptotickými vlastnostmi. Podstatná část práce je pak věnována vyšetřováním specifických typů řešení v závislosti na jejich supremu - tlumená, homoklinická a úniková řešení. Studuje se existence těchto jednotlivých typů řešení a jejich asymptotické vlastnosti. U rovnic bez phi-Laplaciánu je značná pozornost věnována tlumeným řešením a podmínkám zaručujícím jejich oscilatoričnost. U rovnic s phi-Laplaciánem jsou pak studována zejména úniková řešení a kritéria zaručující jejich neohraničenost.

Keywords

obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, časová singularita, phi-Laplacián, asymptotické vlastnosti, existence a jednoznačnost řešení, tlumené řešení, homoklinické řešení, únikové řešení, neohraničené řešení, oscilatorické řešení, neomezený interval

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 24. 4. 2017

Thesis defence

PALACKÝ UNIVERSITY OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis