Difuzní procesy a jejich aplikace

Bc. Jiří Jireš

Master's thesis

Diffusion processes and their applications

Abstract:

V této diplomové práci se věnujeme difuzním procesům, pro jejichž zavedení předkládáme čtenáři potřebné pozadí v oblasti stochastické analýzy a Markovských procesů. Zabýváme se možností uplatnění difuzních procesů v analýze přežití v souvislosti s dobou prvního dosažení kritické úrovně procesu. Tyto situace simulujeme a zajímáme se také o rozložení neabsorbovaných trajektorií v určitém čase. V oblasti analýzy přežití dále nastiňujeme problém odlišného chování rizikové funkce na úrovni jedince a na úrovni populace. Přestože byl tento fenomén do nedávné doby v analýze přežití často opomíjen, ukazuje se, že jeho ignorování může vést k chybným interpretacím. Jako vhodný nástroj k řešení se nabízí tzv. „frailty“ modely, které předpokládají náhodné rozložení křehkosti v populaci. Uvádíme v praxi nejpoužívanější gama rozdělení a simulujeme vzorovou situaci pro konkrétní nastavení vstupních parametrů.

Abstract:

In this thesis, we study diffusion processes, which we introduce, supported by a necessary theoretical background in the fields of stochastic analysis and Markov chains. We deal with the application of diffusion processes in survival analysis in the context of the first hitting time of a critical level. We model the situations and take into account the distribution of non-absorbed paths at a particular time. In survival analysis, we outline the issue of different behavior of hazard function on the level of individual and the level of population. Notwithstanding that the phenomenon remained overlooked in survival analysis until recently, it appears that ignoring it could cause misleading conclusions. The frailty models, assuming a random distribution of frailty in a population, are suggested as a suitable tool to achieve a meaningful solution. We present the most commonly used gamma-distributed frailty, and we simulate the model situation for fixed settings of parameters.

Keywords

Wienerův proces, Difuzní proces, Doba prvního dosažení, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces, Analýza přežití, Markovské řetězce, Distribuce neabsorbovaných trajektorií, Stochastická diferenciální rovnice, Wiener process, Diffusion process, First hitting time, Ornstein-Uhlenbeck process, Frailty, Survival analysis, Markov chains, Distribution of non-absorbed paths, Stochastic differential equation

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 17. 8. 2020

Thesis defence

• Date of defence: 16. 9. 2020
• Supervisor: Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D.
• Reader: Mgr. David Kraus, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Statistics and Data Analysis