Využití kopul při modelování nelineárních forem závislosti mezi náhodnými veličinami

Karolína Schaffartziková

Master's thesis

Using copulas in modeling nonlinear forms of dependence between random variables

Abstract:

Diplomová práce se zabývá problematikou kopul a jejich praktickým využitím v oblasti finančních i nefinančních dat. Kopuly jsou flexibilním nástrojem pro popis vícerozměrného sdruženého pravděpodobnostního rozdělení umožňující modelovat různé formy lineárních i nelineárních závislostních struktur. Jsou představeny a graficky porovnány hlavní třídy kopul se záměrem zdůraznění jejich charakteristických rysů. Dále jsou uvedeny informační kritéria a vybrané závislostní míry sloužící k volbě odpovídající kopuly. K odhadu parametrů kopuly jsou nejčastěji využívány metody založené na maximální věrohodnosti, které jsou v práci podrobněji popsány. Konec kapitoly přináší popis algoritmů generujících náhodné hodnoty z vybraných kopul. Následně je krok za krokem graficky předvedena metoda inverzní transformace náhodně vygenerovaných veličin na hodnoty simulující odpovídající sdružené rozdělení.Obsahem praktické části je nejprve aplikace kopul na popis vzájemného vztahu dvou akciových indexů S&P 500 a Euronext 100. V prvním kroku je určeno Studentovo rozdělení představující marginální distribuční funkce obou indexů. Dále je zejména na základě schopnosti podchycení chvostové závislosti vybrána Studentova kopula jako vhodná funkce k popisu závislostní struktury akciových indexů. Nakonec je předvedeno příslušné dvourozměrné sdružené rozdělení v porovnání s rozdělením na základě Gaussovy kopuly a empirickými hodnotami. Druhá část praktické aplikace se zaměřuje na popis vzájemného vztahu relativní vlhkosti naměřené ráno a odpoledne téhož dne. Pro popis marginálních rozdělení obou náhodných veličin bylo vybráno beta rozdělení. Poté je opět provedena diagnostika závislosti vedoucí k výběru Gumbel-Claytonovy kopuly. Výsledné sdružené rozdělení dokázalo zachytit základní rysy, které analyzovaná data vykazovala.

Abstract:

Diploma thesis deals with theory of copulas and their practical use in the field of financial and non-financial data. Copula is a flexible tool for modeling multivariate joint probability distributions focusing on diverse forms of linear and nonlinear dependency structures. The main copula families are presented and graphically compared with the intention to emphasize their characteristic features. The information criteria and selected dependency measures used to choose the corresponding copula are also described. The most frequent methods used to estimate copula parameters are those based on maximum likelihood, which are explained in more detail in the thesis. The end of this chapter describes algorithms generating random values from selected copulas. Subsequently, the method of inverse transformation of randomly generated variables into values simulating the corresponding joint distribution is presented graphically.The first half of the practical part is the application of the copula to describe the mutual relationship of two stock indices S&P 500 and Euronext 100. At first, Student's distribution as the marginal distribution function of both indices is determined. Furthermore, based on the ability to capture tail dependence is selected Student's copula as a suitable function to describe the dependency structure of stock indices. Finally, a bivariate joint distribution is shown compared to the distribution based on Gaussian copula and also to empirical values. The second part of the practical application focuses on describing the relationship of relative humidity measured in the morning and afternoon of the same day. A beta distribution was chosen to describe the marginal distributions of both random variables. The dependence diagnosis is then performed to select the Gumbel-Clayton copula. The resulting joint distribution was able to capture the basic features of the analyzed data.

Keywords

metoda inverzní transformace, kopula, závislost, vícerozměrné sdružené rozdělení

Keywords

copula, multivariate joint distribution, dependence, inverse transformation method

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 26. 8. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 9. 6. 2020
• Supervisor: Miroslav Plašil
• Reader: Milan Bašta

Vysoká škola ekonomická v Praze

Master programme / field:
Kvantitativní metody v ekonomice / Statistika