Komplexní čísla a komplexní funkce

Michael Pánek

Bachelor's thesis

Complex numbers and functions

Abstract:

Cílem bakalářské práce „Komplexní čísla a komplexní funkce“ je popsat obor komplexních čísel s návazností na komplexní analýzu pomocí vybraných definic, vět a příkladů. Práce je členěna do 4 kapitol. První kapitola pojednává o oboru komplexních čísel na úrovni střední školy. Je zde zavedena množina komplexních čísel a základní operace na ní. Dále zde pojednáváme o geometrické interpretaci komplexních čísel a rovnicemi v komplexním oboru. Druhá kapitola je věnována funkci komplexní proměnné. Postupně jsou představeny elementární funkce, které známe z reálného oboru, v oboru komplexních čísel. Je prováděno srovnání vlastností jednotlivých funkcí v rámci reálného a komplexního oboru. Třetí kapitola se zabývá derivací funkce komplexní proměnné, včetně Cauchy-Riemannových podmínek. Čtvrtá kapitola se věnuje integraci funkce komplexní proměnné. Zejména se zabývá problematikou křivkových integrálů a integrování po uzavřených křivkách.

Abstract:

The goal of the bachelor thesis "Complex Numbers and Complex Functions" is to describe the field of complex numbers with reference to complex analysis by chosen definitions, theorems and examples. The thesis is divided into 4 chapters. The first chapter deals with the field of complex numbers at the high school level. The set of complex numbers and the basic operations on it are introduced. It also discusses the geometric interpretation of complex numbers and equations in the complex domain. The second chapter is devoted to the function of a complex variable. The elementary functions that we know from the real domain are introduced successively in the domain of complex numbers. A comparison is made between the properties of each function within the real and complex domains. The third chapter deals with the derivative of a function of a complex variable, including the Cauchy-Riemann conditions. The fourth chapter is devoted to the integration of a function of a complex variable, in particular dealing with the problem of contour integrals and integration along closed curves.

Keywords

komplexní číslo, Moivreova věta, rovnice s komplexními kořeny funkce komplexní proměnné, Riemannovy plochy, Cauchyho-Riemannovy podmínky, křivkový integrál, Cauchyho fundamentální věta, Cauchyho integrální vzorec, complex number, Moivre's theorem, equations with complex roots, function of complex variable, Riemann surfaces, Cauchy-Riemann theorem, contour integral, Cauchy fundamental theorem, Cauchy integral formula

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 22. 4. 2024

Thesis defence

• Date of defence: 20. 6. 2024
• Supervisor: RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
• Reader: doc. Dr. András Rontó

Masaryk University

Faculty of Education

Bachelor programme / field:
German Language for Education / Mathematics for Education