Numerické metody pro řídké matice

Bc. Jan Tomšík

Master's thesis

Numerical methods for sparse matrices

Abstract:

V této diplomové práci se zabýváme numerickými metodami řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Metody konečných diferencí a konečných prvků vytváří soustavy lineárních rovnic s velkou a řídkou maticí soustavy. Tyto soustavy jsou řešeny iteračními metodami, nejdříve se aplikují Jacobiho a Gaussova - Seidelova metoda, což je spojeno s určením spektrálních poloměrů iteračních matic obou metod pro zjištění, zda-li posloupnost aproximací řešení soustav bude konvergovat ke skutečnému řešení. V případě konvergence posloupnosti aproximací se zjistí, že tato konvergence je pomalá. Proto jsou použity Krylovovské metody a metoda sdružených gradientů, které generují posloupnost aproximací řešení, jejíž konvergence ke skutečnému řešení je rychlejší, a které jsou nenáročné pro paměť počítače. Ke všem metodám jsou popsány teoretické základy.

Abstract:

In this diploma thesis we are concerned with numerical methods for solutions to partial elliptic differential equations. The finite difference method and the finite element method create systems of linear equations with a matrix, that is large and sparse. These systems are solved by iterative methods. At the beginning the Jacobi method and the Gauss - Seidel method are used, but their usage is associated with determination spectral radius of both iterative matrices. This is necessary because of convergence of sequence approximations of solution to true solution of systems. If sequence approximations is convergent, this convergence is too slow. That's why there are used the conjugate gradients method and Krylovov's methods, which generate sequence approximations of solution with higher speed of convergence. These methods are not expensive for computer memory. Theory of these methods is described in this thesis.

Keywords

parciální diferenciální rovnice, numerické řešení PDR, metoda konečných diferencí, metoda konečných prvků, řídká matice, iterační metody, prostá iterace, Čebyševova metoda, Jacobiho metoda, Gaussova, Seidelova metoda, vlastní čísla, Arnoldiho metoda, Lanczosova metoda, metoda sdružených gradientů, zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda bikonjugovaných gradientů, partial differential equations, numerical solution PDE, the finite difference method, the finite element method, sparse matrix, iterative methods, simple iteration, the Chebyshev's method, the method of Jacobi, the method of Gauss, Seidel, eigenvalues, the method of Arnoldi, the method of Lanczos, conjugate gradient method, generalized minimal residual method, biconjugate gradient method

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 7. 5. 2014

Thesis defence

• Date of defence: 18. 6. 2014
• Supervisor: Mgr. Jiří Zelinka, Dr.
• Reader: prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Mathematical Modelling and Numeric Methods