Vulkány isogenií v kryptografii

Bc. Vojtěch Suchánek

Master's thesis

Isogeny volcanoes in cryptography

Abstract:

V této diplomové práci se věnujeme vulkanům isogenií eliptických křivek nad konečnými tělesy. Nejprve provedeme čtenáře základy teorie isogenií a okruhu endomorfismů eliptické křivky. Poté charakterizujeme vulkány isogeniı́ daného stupně. Následně ukážeme aplikaci vulkánů v teorii eliptických křivek a kryptografii zejména výměny klı́čů. Nakonec čtenáři vysvětlı́me využitı́ isogeniı́ při počı́tánı́ bodů na křivce a navrheneme vylepšenı́ z hlediska vulkánů. Součástí práce je implementace isogeniı́ a vulkánů v systému počı́tačové algebry Sage.

Abstract:

In this thesis, we study isogeny volcanoes of elliptic curves over finite fields. Firstly, we introduce the basic theory of isogenies and ring of endomorphisms of an elliptic curve. We fully describe isogeny volcanoes of a given degree. Furthermore, we illustrate the application of volcanoes in the theory of elliptic curves and cryptography, in particular, key exchange. Finally, we explain the usage of isogenies for counting points of elliptic curves a propose an improvement based on isogeny volcanoes. As a part of this thesis, implementation of isogenies and isogeny volcanoes was written in the computer algebra system Sage.

Keywords

elliptic curve, isogeny, isogeny volcano, horizontal isogeny, vertical isogeny, endomorphism ring, key exchange, Diffie-Hellman, class group, Schoof’s algorithm

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 1. 6. 2020

Thesis defence

• Date of defence: 11. 9. 2020
• Supervisor: Mgr. Marek Sýs, Ph.D.
• Reader: Bc. Jana Sotáková

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Algebra and Discrete Mathematics