Oscillation of a class of the fourth-order nonlinear difference equations

RNDr. Jana Krejčová, DiS.

Doctoral thesis

Abstract:

V této disertační práci se zabýváme neoscilatorickými řešeními diferenčních rovnic čtvrtého řádu a jejich asymptotickými vlastnostmi. Práce je rozdělena do sedmi kapitol. V první kapitole je uveden historický přehled různých typů diferenčních rovnic čtvrtého řádu a diferenčních systémů studovaných v posledních letech. Druhá kapitola uvádí základní vlastnosti dvoučlenné diferenční rovnice, jako je existence rychle oscilatorického řešení, cyklická permutace koeficientů a klasifikace možných typů neoscilatorických řešení dané rovnice. V Kapitole 3 studujeme asymptotické vlastnosti neoscilatorických řešení typu (a) a uvádíme postačující podmínky pro neexistenci tohoto typu řešení v závislosti na typu rovnice (sublineární, pololineární a superlineární případ). Analogicky je stejná problematika pro řešení typu (b) studována v Kapitole 4. Nosnou část práce tvoří následující dvě kapitoly. Kombinací podmínek neexistence řešení typu (a) a typu (b) získáme oscilační kritéria, která jsou ilustrována příklady a aplikacemi v páté kapitole. V šesté kapitole se zabýváme asymptotickým chováním neoscilatorických řešení, definujeme zde maximální a minimální řešení diferenční rovnice. Udáváme nutnou podmínku pro to, aby daná rovnice měla maximální či minimální řešení, a věty, které uvádí spojitost mezi řešením maximálním, resp. minimálním, a řešením typu (a), resp. (b). Většina uvedených výsledků je ilustrována příklady. Disertační práce je uzavřena nástinem možného směřování dalšího výzkumu řešené problematiky. Hlavní metody použité v této práci jsou asymptotická integrace a cyklická záměna koeficientů v diferenční rovnici.

Abstract:

In this doctoral dissertation we deal with nonoscillatory solutions of fourth-order difference equations and their asymptotic properties. The dissertation is organized into seven chapters. The study of the difference equation of our type is motivated in Chapter 1, where the historical overview of different types of fourth-order difference equations and difference systems studied in the recent years is also given. The second chapter presents the basic properties of two-terms difference equations such as the existence of quickly oscillatory solutions, the cyclic permutation of the coefficients of the difference equation and the classification of possible types of nonoscillatory solutions of the difference equation. In Chapter 3 we study the asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of type (a) and we present sufficient conditions for the nonexistence of this type of solution depending on the type of equation (sub-linear, half-linear and super-linear case). Analogously, the same type of problems for solutions of type (b) is studied in Chapter 4. The main body of the text is represented by the following two chapters. Using a combination of conditions for the nonexistence of the solutions of type (a) and type (b) we obtain the oscillation criteria which are illustrated by examples and applications in Chapter 5. In Chapter 6 we deal with the asymptotic behavior of nonoscillatory solutions and we define the maximal and the minimal solution of difference equations. We state the necessary condition for the difference equation to have the maximal or the minimal solution and we present theorems that provide a connection between maximal, resp. minimal solutions and solutions of type (a), resp. (b). Examples are provided to illustrate most of the theorems. For completeness, the dissertation is finished with a sketch of a further research in the presented theory. The main methods used in this dissertation are the asymptotic integration and the cyclic permutation of the coefficients of the equation.

Keywords

Difference equation, Difference, Difference system, Oscillatory solution, Nonoscillatory solution, Maximal solution, Minimal solution, Oscillation, Cyclic permutation, Diferenční rovnice, Diference, Soustava diferenčních rovnic, Oscilatorické řešení, Neoscilatorické řešení, Maximální řešení, Minimální řešení, Oscilace, Cyklická permutace

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 3. 2014

Thesis defence

• Date of defence: 11. 6. 2014
• Supervisor: prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc.
• Reader: prof. RNDr. Miroslav Bartušek, DrSc., Mgr. Simona Fišnarová, PhD.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Mathematical Analysis