Některé vlastnosti agregačních funkcí na ohraničených svazech

Mgr. Zbyněk KURAČ

Doctoral thesis

Aggregation operators on lattices and partially ordered sets

Abstract:

Disertační práce je zaměřena na studium některých vlastností agregačních funkcí uvažovaných na konečných svazech. Zabývali jsme se zejména problémy týkajícími se propojení této teorie s teorií klonů, načež jsme využívali tzv. Baker-Pixleyho větu pro dokazování našich tvrzení, které se převážně zaměřili na generátory klonu idempotentních agregačních funkcí. Následně se bádání ohledně generátorů stočilo směrem k redukování počtu funkcí v této generující množině. Dalším uvažovaným problémem byla teorie transferově-stabilních funkcí, kterou jsme propojili s teorií agregačních funkcí na základě transformace aritmetického průměru do teorie svazů, přesněji do teorie konečných řetězců, čímž jsme obdrželi transferově-stabilní průměry. Zaměřili jsme se na strukturu všech takových funkcí, popřípadě její generátory. Odstraněním idempotence se rozšířil definiční obor, přičemž jsme zkoumali dvě třídy svazů, pro které lze tyto funkce nejlépe definovat. Hlavním výsledkem bylo charakterizování obou těchto tříd a posléze jsme zkoumali některé další vlastnosti, jenž mají tyto funkce na zmíněných třídách.

Abstract:

The Ph.D. Thesis focuses on the study of some properties of aggregation functions considered on finite lattices. We dealt mainly with problems related to the connection of this theory with the theory of clones. Then we used the so-called Baker-Pixley theorem to prove our results, which are focused on generators of clone of idempotent aggregation functions. Subsequently, this research has turned to reduce the number of functions in this generating set. Another problem was dealt with the theory of transfer-stable functions, which we connected with the theory of aggregation functions based on the transformation of the arithmetic mean into the lattice theory, more precisely to the theory of finite chains, whereby we obtained transfer-stable means. We focused on the structure of all considered functions, or its generators. By removing idempotence, the domain of transfer-stable aggregation functions has expanded and we examined two classes of lattices for which these functions can be best defined. The main result was the characterization of both of these classes, and then we examined some other properties that these functions fulfill on the mentioned classes.

Keywords

agregační klon, idempotentní klon, minimální (!, med)-generující množina, svaz, řetězec, agregační funkce, monotónní funkce, idempotentní funkce, symetrická funkce, medián, aritmetický průměr, transferový princip, transferová-stabilita, vzdálenost, cesta

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 24. 5. 2021

Thesis defence

• Supervisor: prof. Mgr. Radomír Halaš, Dr., prof. Mgr. Radomír Halaš, Dr.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Algebra and Geometry