Fuzzy methods of aggregation in decision making

Mgr. Iveta BEBČÁKOVÁ

Disertační práce

Abstract:

There are lots of different problems, which can be met in multiple criteria decision making. In this thesis we focused on a single specific kind. It is a multiple criteria decision making problem with a finite set of possible solutions (alternatives) and a finite set of criteria, which is assessed by a single decision maker.One of the main problems arising during the process of decision making is to evaluate the given alternatives in order to decide if they fulfill our requirements, or, at lest, to determine which ones suit us the best. The process of multiple criteria evaluation fully employs aggregation operators. There are many families of aggregation operators studied with eye on their application to MCDM. In chapter 2, the most popular aggregation operators, with special emphasis on the Choquet integral, were treated. The unique properties of the Choquet integral allowed us to generalize PGM method for MCDM problems, in which the interactions among the criteria made use of weighted average impossible. One of the main drawbacks to proper application of the Choquet integral is its dire need for huge amount of information in the form of a fuzzy measure for a given set of criteria. This important problem has gathered a lot of attention in the community and several approaches to fuzzy measure construction, based on, for example, training data and linear or quadratic programming, were proposed. In the thesis we proposed a new method of constructing a fuzzy measure, a method based solely on the evaluator's ability to compare two well defined objects given to her. For one reason or another, decision making problems are often burdened by uncertainty, which is integrated into the decision making models by employing the fuzzy sets theory. As a result, the aggregation operators are being adjusted to accommodate evaluations by fuzzy numbers in the process called 'fuzzification'. At the time the results of the thesis were formulated, fuzzified versions of several aggregation operators were already available, but their calculation was quite involved. In chapter 3 we presented full fuzzification, up to the second level, of the Choquet integral and its several different forms. In addition to fuzzified aggregation operators we also proposed algorithms meant to ease their calculation. Those algorithms were afterwards integrated into FuzzME software, a tool developed for creating fuzzy models of multiple criteria evaluation and decision making.The generalization of the Choquet integral to the second-level fuzzy Choquet integral led to the GPGM - Generalized Partial Goals Method. GPGM is able to help the evaluator with multiple criteria evaluation problem with interacting criteria and uncertain partial evaluations even if the partitions of the partial goals in the overall goal are set only vaguely. For the second level fuzzification of the Choquet integral, the fuzzy measure, which is used by the integral to steer the aggregation, needed to be replaced by its generalizaton, the FNV-fuzzy measure. Unfortunately, the FNV fuzzy measure contains more information than the fuzzy measure and its construction is therefore much more demanding. To alleviate this issue and help the evaluator, we devoted the last part of the chapter 3 to a technique for constructing a FNV-fuzzy measure presented in a form of algorithm. The applications of the particular aggregation operators are limited. In the case of strange relationships among the partial and overall evaluations, the application of fuzzy rules base and linguistically oriented modeling is recommended. In the chapter 4, the base of fuzzy rules was applied to a real problem occurring in the field of psychology. Two fuzzy expert systems were created to model the problem of the quantitative interpretation of results given by the MMPI-2 test. Moreover, the utilization of two different aggregation operators in the approximate reasoning algorithm was discussed.

Abstract:

Na poli vícekriteriálního rozhodování se potkáváme s množstvím rozličných problémů. V této disertační práci se zaměřujeme pouze na jeden z nich. Jde o vícekriteriální rozhodovací problém s jedním rozhodovatelem, konečnou množinou možných řešení (variant) a konečnou množinou kritérií. Jedním z nejdůležitějších a přitom nejobtížnějších kroků v rozhodovacím procesu je hodnocení variant. Hodnocení nám pomáhá určit, zda varianty splňují naše představy o řešení daného problému, či alespoň zjistit, které z variant jsou nejvíce vyhovující. Hlavní úlohu ve vícekriteriálním hodnocení hrají agregační operátory. Agregačních operátorů je mnoho, jenom část z nich ale našla uplatnění v rozhodovací praxi a je dále studována ve spojení s aplikacemi v oblasti vícekriteriálního rozhodování. V kapitole 2 se zabýváme operátory, které jsou v rozhodování používány nejčastěji. Převážná část práce je věnována Choquetovu integrálu, který díky svým jedinečným vlastnostem umožňuje modelovat problémy vícekriteriálního hodnocení i v případech, kdy kritéria mezi sebou navzájem interagují, ať už ve smyslu synergie nebo redundance. Fakt, že Choquetův integrál je vhodný nástroj pro zobecnění některých rozhodovacích metod, byl demonstrován při zobecnění metody dílčích cílů (PGM). Použití Choquetova integrálu však má svou cenu. Má-li být plně využit jeho potenciál, musí rozhodovatel poskytnout mnohem více informací o daném problému, než v případě jiných běžně využívaných agregačních operátorů. Informace je reprezentována fuzzy mírou, kterou je potřeba definovat na množině dílčích cílů, či kritérií. Problematikou zadávání fuzzy míry se zabývali již mnozí. Bylo navrženo několik různých způsobů její konstrukce, často se například využívá množina trénovacích dat a matematické programování. V této práci je navžena nová metoda pro zadávání fuzzy míry založena na metodě párového porovnávání a schopnosti rozhodovatele vyjádřit intenzitu preference mezi dvěma uvažovanými objekty. V praxi se často setkáváme s rozhodovacími problémy potýkajícími se s neurčitostí, kterou je možno popsat pomocí nástrojů teorie fuzzy množin. Dílčí hodnocení, která mohou být modelována fuzzy čísly, je potřeba agregovat pomocí tomu přizpůsobených, fuzzifikovaných, agregačních operátorů. V době vzniku hlavních výsledků této práce byly už některé agregační operátory fuzzifikovány, nicméně způsob jejich výpočtu byl stále značně komplikovaný. V kapitole 3 byla představena fuzzifikace Choquetova integrálu a jeho speciálních forem až do druhé úrovně včetně. Kromě fuzzifikovaných agregačních operátorů jsme navrhli i efektivní výpočetní algoritmy, které práci s nimi značně usnadňují. Tyto algoritmy se staly součástí softwaru FuzzME, nástroje vhodného pro modelování problémů vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. Zobecnění Choquetova integrálu na druhou úroveň fuzzifikace umožnilo plně zobecnit metodu dílčích cílů (GPGM) i pro problémy vícekriteriálního hodnocení zatížené neurčitostí a interakcemi. Zobecněnou metodu dílčích cílů je možno aplikovat i v případě, kdy podíly jednotlivých dílčích cílů na cíli celkovém jsou popsány jen vágně. Zobecnění Choquetova integrálu až na druhou úroveň fuzzifikace s sebou neslo i zobecnění fuzzy míry do podoby FNV-fuzzy míry. Vzhledem k její obecnosti, je zadávání FNV-fuzzy míry ještě náročnější. Poslední část kapitoly 3 je proto věnována nové technice zadávání FNV-fuzzy míry včetně návodu v podobě algoritmu. Mnohé agregační operátory slouží svému účelu dobře jenom za určitých podmínek. V případě složitých vztahů mezi dílčími a

Abstract:

celkovými hodnoceními je proto vhodné použít bázi fuzzy pravidel a jazykově orientovaného programování. V kapitole 4 je představena aplikace báze fuzzy pravidel na problém z oblasti psychologie. Pomocí dvou fuzzy expertních systémů je zde modelován problém kvantitativní interpretace výsledků dotazníku MMPI-2. Součástí práce je i diskuze nad dvěma různými operátory ovlivňujícími chování expertního systému

Keywords

agregační operátory, vícekriteriální rozhodování, vícekriteriální hodnocení, Choquetův integrál, fuzzy množiny, MMPI-2

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 31. 8. 2012

Zveřejnit od: 31. 8. 2012

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 17. 1. 2013
• Vedoucí: Doc. RNDr. Jana Talašová, CSc.

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Aplikovaná matematika / Aplikovaná matematika