Abelovská tělesa

Bc. Jan Berousek

Master's thesis

Abelian number fields

Anotácia:

Práce buduje nezbytnou teorii pro pochopení důkazu tzv. Kronecker-Weberovy věty metodou L. C. Washingtona. Zavádí pojem celého prvku tělesa nad jeho podokruhem, pojem normy, stopy, diskriminantu, okruhu diskrétní valuace, Dedekindova okruhu, lomeného ideálu, větvení nenulového prvoideálu v konečném rozšíření tělesa, zobecněné absolutní hodnoty na tělese, lokálního tělesa. Podává důkazy důležitých vět zahrnující uvedené pojmy a vztahy mezi nimi, např. důkaz, že lomené ideály v Dedekindově okruhu tvoří volnou komutativní grupu generovanou množinou jeho nenulových prvoideálů, nebo důkaz Minkowského věty. Demonstruje konstrukci p-adických čísel, klasifikuje možné absolutní hodnoty na racionálních číslech a závěrem je dokázáno, že nearchimedovská lokální tělesa jsou izomorfní konečnému rozšíření tělesa p-adických čísel.

Abstract:

This work presents necessary theory for full understanding of the proof of so called Kronecker-Weber theorem using the method by L. C. Washington. It introduces notions of integral element of the field over its subring, norm, trace, discriminant, discrete valuation ring, Dedekind domain, fractional ideal, ramification of the nonzero prime ideal in a finite field extension, generalised absolute value defined on the field, local field. The work also demonstrates proofs of various important theorems about these concepts and their mutual relationships, for example the proof that fractional ideals in Dedekind domains form a free abelian group generated by the set of its nonzero prime ideals or the proof of Minkowski bound. It also includes the construction of p-adic numbers, it classifies possible absolute values on rationals and the end of the work presents a proof that every non-archimedean local field is isomorphic to some finite extension of the field of p-adic numbers.

Kľúčové slová

Kronecker-Weberova věta, abelovské rozšíření, Galoisovo, ideál, norma, stopa, diskriminant, lomený ideál, Dedekind, DVR, Minkowského věta, absolutní hodnota, diskrétní, zúplnění, nearchimedovské, p-adická čísla, lokální těleso, Kronecker-Weber theorem, abelian extension, Galois, norm, trace, discriminant, fractional ideal, Minkowski bound, absolute value, discrete, completion, non-archimedean, p-adic numbers, local field

Jazyk práce: Czech

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 8. 1. 2014

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 12. 2. 2014
• Vedúci: Mgr. Michal Bulant, Ph.D.
• Oponent: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / odbor:
Mathematics / Algebra and Discrete Mathematics