Franklova hypotéza o množinových systémech a síla podmínek lineárního programování

Jakub KOŇAŘÍK

Bachelor's thesis

Union-closed sets conjecture and the strength of constraints in linear programming

Abstract:

In the present thesis we familiarize the reader with the Union-closed sets conjecture. The conjecture states that any nite union-closed family of sets has an element that belongs to at least half of the member sets. We examine in detail the conjecture's assumptions, known observations, equivalent formulations, selected known partial results and results regarding small families of sets. We also mention recent breakthroughs obtaining a constant fraction for the conjecture. The main result presented in this thesis is that the Union-closed sets conjecture holds when the size of the biggest set is at most 14, we improve upon the previously known results for sizes 7,9,10,11,12 by Poonen [20], Lo Faro [11], Marković [18], Bošnjak and Marković [3] and Vučković and Živković [28] respectively. This main result was obtained in a joint project of the author of the thesis and Jana Chrastinová, Adam Kabela and Jakub Teska. This thesis provides a detailed introduction and explanation of the methods used as well as a summary of our computer assisted proof. Our approach is to formulate a restriction of the Union-closed sets conjecture as an integer linear programming problem. For comupting purposes, we relax the problem to a linear programming problem. We compensate for the relaxation by splitting the proof into multiple cases, iteratively proving ever stronger inequalities and adding them as constraints. We use hypergraph isomorphism for organising the case hierarchy. The proof is computer-assisted.

Abstract:

V předkládané práci je čtenář nejprve seznámen s Franklovou hypotézou. Franklova hypotéza říká, že všechny konečné systémy množin uzavřené na sjednocení obsahují prvek, který patří do alespoň poloviny množin v systému. V práci detailně rozebíráme předpoklady hypotézy, základní poznatky, ekvivalentní formulace, vybrané známé částečné výsledky a výsledky týkající se malých systémů množin. Zmíněn je též nedávný průlom v nalezení konstantního dolního odhadu hypotézy. Hlavní výsledek prezentovaný v této práci je důkaz, že Franklova hypotéza platí pro systémy množin uzavřených na sjednocení, kde velikost největší množiny v systému je nejvýše 14. Tento výsledek zlepšuje doposud známé výsledky pro velikosti 7,9,10,11,12 od Poonen [20], Lo Faro [11], Marković [18], Bošnjak and Marković [3] a Vučković a Živković [28] v tomto pořadí. Důkaz je výsledkem skupinového projektu autora této práce, Jany Chrastinové, Adama Kabely a Jakuba Tesky. Předkládaná práce obsahuje detailní představení a vysvětlení použitých metod a také shrnutí celého počítačem asistovaného důkazu. V důkazu nejdříve formulujeme restrikci Franklovy hypotézy jako problém celočíselného lineárního programování, který z výpočetních důvodů relaxujeme na problém lineárního programování. Relaxaci kompenzujeme rozdělením důkazu do několika částí, iterativně dokazujeme čím dál silnější nerovnice, které přidáváme do programu jako podmínky. K organizaci a řazení částí důkazu využíváme izomorzmus hypergrafů.

Keywords

Franklova hypotéza o množinových systémech uzavřených na sjednocení, malé systémy množin, lineární programování, LP relaxace, LP dualita, důkaz pomocí počítače

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 22. 5. 2024

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: RNDr. Adam Kabela, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Bachelor programme / field:
Mathematics and its Applications / Matematika a její aplikace