Elementární metody řešení funkcionálních rovnic

Mgr. Petr Šatný, Ph.D.

Doctoral thesis

Elementary methods of solving functional equations

Abstract:

Předložená disertační práce poskytuje přehled o elementárních metodách řešení, které lze úspěšně aplikovat na mnohé funkcionální rovnice, a jejich užití je zde na rozličných příkladech také demonstrováno. Celá práce je rozdělena do jedenácti kapitol. První obsahuje vymezení pojmu funkcionální rovnice a na jednoduchých příkladech zde ilustruje základní obraty v jejich řešeních. Druhá kapitola představuje jednodušší funkcionální rovnice, v jejichž řešeních lze vystačit se základními obraty z kapitoly předešlé. Další části práce jsou již ale rozděleny podle metod, které hrají v řešeních uvedených funkcionálních rovnic klíčovou úlohu, těmito metodami jsou kapitoly pojmenovány. Předposlední kapitola 10 představuje méně časté typy příkladů, které se odlišují od předešlých tím, že řešeními jsou funkce, jejichž definiční obor je N, Z, nebo Q, nebo mají mít předpis ve tvaru nějakého mnohočlenu, anebo splňují funkcionální nerovnici místo rovnice. Každá ze stěžejních kapitol (kromě kapitoly 9 pojednávající o d’Alembertově funkcionální rovnici) obsahuje v závěru několik neřešených příkladů. Jejich podrobná řešení však lze nalézt v závěrečné kapitole 11.

Abstract:

The presented dissertation provides an overview of elementary solution methods that can be successfully applied to many functional equations and their use is demonstrated on various examples. The main work is divided into eleven chapters. The first one contains a definition of the functional equation. The second chapter presents simpler functional equations. Other parts of the thesis are already divided according to methods that play a key role in solving the functional equations, chapters are named after these methods. The penultimate chapter 10 presents less common types of examples that differ from previous ones in this way: the functions we are looking for have a domain N, Z, or Q or they are supposed to be polynomials, or they fulfill a functional inequality instead of an equation. Each of the key chapters (except Chapter 9 dealing with d’Alembert’s functional equation) ends with several unresolved examples. However, their complete solutions can be found in the final Chapter 11.

Keywords

funkcionální rovnice, Cauchyova funkcionální rovnice, kvaziaritmetický průměr, sudá a lichá funkce, obor hodnot funkce, pevný bod, iterace, rekurence, funkcionální nerovnice

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 4. 2018

Thesis defence

• Date of defence: 21. 6. 2018
• Supervisor: doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc.
• Reader: doc. RNDr. Jaromír Kuben, CSc., prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / General Problems of Mathematics