Dynamical models in neuroscience

Mgr. Jakub Záthurecký, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Obsahem této disertační práce je aplikace jednoduchých nástrojů funkcionální analýzy a teorie singularit v teorii bifurkací a v analýze modelu spřažených neuronů. První, druhá a čtvrtá kapitola jsou věnovány studiu bifurkace zdvojení periody v obyčejných, zpožděných a neutrálních funkcionálních diferenciálních rovnicích. Jejich hlavními výsledky jsou explicitní formule pro koeficienty normální formy této bifurkace a důkaz výměny stability v případě její nedegenerovanosti. Ve třetí kapitole je dokázána existence řešení v téměř symetrickém systému spřažených neuronů, v němž jsou fáze sousedních neuronů posunuty o periodu vydělenou jejich počtem. Tento výsledek souvisí se studiem vysokofrekvenčních oscilací zachycených v EEG záznamech pacientů s epilepsií. V závěru této kapitoly se pokusíme objasnit původ Arnoldových jazyků.

Abstract:

The content of this dissertation is the application of simple tools of functional analysis and singularity theory in bifurcation theory and in the analysis of a model of coupled neurons. The first, second and fourth chapters are devoted to the study of period-doubling bifurcation in ordinary, delay and neutral functional differential equations, respectively. Their main results are explicit formulae for the normal form coefficients of this bifurcation and a proof of stability exchange in the case of its non-degeneracy. In the third chapter, we prove the existence of a solution in an almost symmetric system of coupled neurons in which the phases of neighbouring neurons are shifted by a period divided by their number. This result is related to the study of high-frequency oscillations captured in the EEG recordings of patients with epilepsy. In the conclusion of this chapter, we will try to shed light on the origin of Arnold tongues.

Keywords

bifurkace zdvojení periody, obyčejná diferenciální rovnice, diferenciální rovnice se zpožděním, retardovaná funkcionální diferenciální rovnice, neutrální funkcionální diferenciální rovnice, Ljapunovova-Schmidtova redukce, teorie singularit, synchronizace v antifázy, spřažené neurony, vysokofrekvenční oscilace, Arnoldovy jazyky, period-doubling bifurcation, ordinary differential equation, delay differential equation, retarded functional differential equation, neutral functional differential equation, Lyapunov-Schmidt reduction, singularity theory, anti-phase synchronization, coupled neurons, high-frequency oscillations, Arnold tongues

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 12. 12. 2023

Thesis defence

• Date of defence: 23. 2. 2024
• Supervisor: doc. RNDr. Lenka Přibylová, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Michal Fečkan, DrSc., dr. Babette de Wolff

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics and Statistics / Probability, Statistics and Mathematical Modelling