Operators on Ordered Algebras

Mgr. Zdeněk SVOBODA

Doctoral thesis

Abstract:

Topologické Booleovské algebry (uzávěrové algebry resp. vnitřkové algebry) představují zobecnění topologických prostorů definovaných pomocí topologických uzávěrových a vnitřkových operátorů. Je známo, že MV-algebry před-stavují algebraický protějšek Lukasiewiczovy nekonečně hodnotové logiky podobně jako Booleovské algebry plní tuto funkci pro klasickou dvouhodnotovou logiku. Residuované svazy tvoří širokou třídu algeber obsahující jak MV-algebry tak také další algebry, které lze považovat za algebraické sémantiky obecnějších logik než je klasická. Basic algebry byly zavedeny jakožto neasociativní zobecnění MV-algeber a představují společný základ pro MV-algebry a ortomodulární svazy. Aditivní uzávěrové a multiplikativní vnitřkové operátory na MV-algebrách byly zavedeny jakožto zobecnění topologických Booleovských algeber. V práci zavádíme a zkoumáme aditivní uzávěrové a multiplikativní vnitřkové operátory na residuovaných svazech (komutativních i nekomutativních) a na komutativních basic algebrách. Dále studujeme vlastnosti modálních operátorů (představujících speciální případ uzávěrových operátorů) na residuovaných svazech a na komutativních basic algebrách.

Abstract:

Topological Boolean algebras (closure algebras, resp. interior algebras) are generalizations of topological spaces defined by means of topological closure and interior operators. It is well known that MV-algebras are an algebraic counterpart of the Lukasiewicz infinite valued propositional logic as well as Boolean algebras play this role for classical two valued logic. Residuated lattices form a wide class of algebras, which contains the class of MV-algebras as well as other algebras that can be taken as algebraic semantics of a more general logic than the classic logic. Basic algebras have been introduced as non-associative generalizations of MV-algebras. Basic algebras are in a sense a common base for MV-algebras and orthomodular lattices. Additive closure and multiplicative interior operators on MV-algebras were introduced as generalization of topological Boolean algebras. We introduce and investigate additive closure and multiplicative interior operators on residuated lattices (both in the commutative and non-commutative case) and on commutative basic algebras. Moreover, we study modal operators (special cases of closure operators) on residuated lattices and on commutative basic algebras.

Keywords

residuovaný svaz, basic algebra, uzávěrový operátor, vnitřkový operátor, modální operátor

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 15. 3. 2016

Accessible from:: 15. 3. 2016

Thesis defence

• Supervisor: prof. RNDr. Jiří Rachůnek, DrSc.

PALACKÝ UNIVERSITY OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Algebra and Geometry