On the solvability of some non-local boundary value problems for functional differential equations

Mgr. Vita Pylypenko, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Disertační práce je zaměřena na několik vybraných problémů teorie okrajových úloh pro funkcionální diferenciální rovnice. Uvádíme obecné věty o jednoznačné řešitelnosti nelokální okrajové úlohy pro soustavy lineárních funkcionálních diferenciálních rovnic. Nalezené podmínky zobecňují a doplňují řadu známých výsledků a lze je aplikovat mimo jiné i pro rovnice neutrálního typu. Pro lineární funkcionální diferenciální rovnice se singularitami je stu dovaná úloha o řešeních s předem danou rychlosti růstu. Za předpokladu splnění vhodné podmínky kladnosti příslušného operátoru nám techniky, využívající dvoustranných monotónních iterací, umožňují dokázat nové věty o existenci a prostorové lokalizaci takových řešení. Jsou také odvozeny důsledky pro diferenciální rovnice s odkloněným argumentem. Dále jsou dokázány věty o řešitelnosti singulární Cauchyovy úlohy pro funkcionální diferenciální rovnice s nerostoucí nelinearitou. Pro soustavu lineárních funkcionálních diferenciálních rovnic s a časovými singularitami jsou nalezeny podmínky zaručující jednoznačnou řešitelnost počáteční úlohy ve třídě funkcí s danou rychlosti růstu. Je ukázáno, že nalezené podmínky jsou v jistém smyslu nezlepšitelné.

Abstract:

The dissertation is focused on several topics concerning boundary value problems for functional differential equations. We present general conditions sufficient for the unique solvability of a non-local boundary value problem for systems of linear functional differential equations. These theorems generalise several previously known results and are applicable, in particular, to neutral type functional differential equations. For linear functional differential equations with time singularities, we study the problem on singular solutions with a specified growth. Under a suitable positivity assumption on the underlying operator, the techniques based on two-sided monotone iterations allow us to prove new theorems on the existence and space localisation of such solutions. Corollaries for differential equations with argument deviations are presented. Sufficient conditions for the solvability of a singular Cauchy problem for functional differential equations with non-increasing non-linearities are established. For a system of linear functional differential equations with time singularities, we establish conditions under which the initial value problem is uniquely solvable in the class of functions with a specified growth rate. We show that the conditions are, in a sense, unimprovable.

Keywords

boundary value problem, singular Cauchy problem, functional differential equation, non-local condition, unique solvability, singular solution

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 6. 2. 2017

Thesis defence

• Date of defence: 24. 3. 2017
• Supervisor: DrSc. András Rontó
• Reader: prof. Alexandre Lomtatidze, DrSc., prof. Alexander Domoshnitsky

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Mathematical Analysis