Funkcionální regresní modely

Mgr. Veronika ŘÍMALOVÁ

Doctoral thesis

Functional regression models

Abstract:

This thesis proposes a novel nonparametric approach to the significance testing of the null hypothesis in a functional linear model for data with a~heterogenous spatial structure. A permutation approach is introduced to test for the effect of covariates in a spatial functional regression model with heteroscedastic or spatially correlated residuals. In this context, the proposed methods account for the heterogeneous spatial structure of the data by grounding on the Freedman and Lane permutation scheme for the estimated residuals of the functional regression model. Indeed, due to the spatial dependence among the data, the residuals of the regression model are not exchangeable. Therefore, the basic assumption of the Freedman and Lane permutation scheme is violated. To overcome this issue in the case of heteroscedasticity, we propose to fit a weighted least squares model to the observations, and then to divide the estimated residuals by their corresponding standard deviation, leading to asymptotically exchangeable, and thus, permutable residuals. In the case of spatially correlated observations it is proposed here to estimate the variance-covariance structure of the residuals by variography, remove this correlation by spatial filtering of the residuals and base the permutation test on these approximately exchangeable residuals. To evaluate the performance of the proposed methods in terms of the empirical size and power, simulation studies are conducted, examining the behaviour of the tests under different covariance settings. We show that neglecting the spatial structure of the residuals in the permutation scheme, i.e., permuting the heteroscedastic or spatially correlated residuals directly, yields very liberal or conservative results, whereas the proposed procedures are close to the nominal size of the test. The results of modelling and testing on the case studies are shown and discussed on the data from geochemistry and tourism. Moreover, the potential of FDA methodology is shown in the field of transportation research, focusing on the permutation-based inference in a regression model with functional covariates and functional response.

Abstract:

Cílem této disertační práce je představit nový neparametrický přístup k testování významnosti parametrů ve funkcionálním lineárním regresním modelu pro prostorová data pro případ heteroskedasticity nebo prostorové korelace. Pro testování významnosti regresních parametrů v prostorovém funkcionálním regresním modelu navrhujeme využít metodiku založenou na permutačních testech. Tyto metody jsou navrhnuty tak, aby bylo možno s jejich pomocí pracovat s daty s heterogenní prostorovou strukturou a to na základě Freedmanova a Laneova permutačního schématu. Přirozeně, vlivem prostorové závislosti mezi daty nejsou residua regresního modelu permutovatelná, čímž je porušen základní předpoklad Freedmanova a Laneova permutačního schématu. Abychom tento problém vyřešili, navrhujeme v případě heteroskedasticity modelovat data pomocí vážené metody nejmenších čtverců a poté vydělit odhadnutá residua jejich směrodatnou odchylkou, čímž získáme asymptoticky permutovatelná residua. V případě prostorově závislých dat navrhujeme odhadnout varianční strukturu pomocí variogramu a poté dekorelovat odhadnutá residua a založit permutační test na těchto přibližně permutovatelných residuích. Za účelem ohodnocení navrhovaných testů z hlediska empirické velikosti a síly testu byly provedeny simulační studie zkoumající chování testů pro různé varianční struktury dat. Ukážeme, že zanedbání varianční struktury residuí (tedy permutování přímo heteroskedastických či prostorově korelovaných dat) vede v permutačním testování k buďto velmi liberálním, či velmi konzervativním výsledkům testů, zatímco empirická velikost námi navrhovaných testů je v případě heteroskedasticity či prostorové korelace blízká té nominální. Navrhované metody jsou též prezentovány na reálných datech z oblastí geochemie a turismu. Mimo to je potenciál analýzy funkcionálních dat ukázán na datech z oblasti dopravního výzkumu s důrazem na regresní model s funkcionálním regresorem a funkcionální závisle proměnnou.

Keywords

Analýza funkcionálních dat, funkcionální regresní modely, permutační testy, neparametrická inference, heteroskedasticita, prostorová korelace, funkcionální geostatistika, prostorově filtrovaná residua, permutovatelnost

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 3. 4. 2023

Thesis defence

• Supervisor: doc. RNDr. Eva Fišerová, Ph.D., doc. RNDr. Eva Fišerová, Ph.D.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics