Vývoj nástrojů faktorizace čísel a dopady na asymetrickou kryptografii

Anastasia Shikhlyarova

Bachelor's thesis

Development of number factorization tools and impacts on asymmetric cryptography

Abstract:

Cílem této práce je seznámit čtenáře s faktorizací velkých čísel, popsat problematiku faktorizace a její metody a zanalyzovat jejich dopady na asymetrickou kryptografii, speciálně na RSA. Práce nejprve vysvětlí algoritmus šifrování RSA, principy jeho fungování a bezpečnosti. Poté se věnuje problému faktorizace. Popisuje jak metody, které se používaly již před dávnými časy, jmenovitě zkusmé dělení, Fermatovu metodu a Eulerův algoritmus, tak jejich moderní, často navazující, nástupce, jmenovitě Pollardovu p-1 metodu, Lenstrovu metodu, Dixonovu faktorizační metodu, kvadratické síto a metodu síta v číselném tělese. Dále popisuje, jak fungují kvantové počítače, jejich význam a využití v Shorově algoritmu na faktorizaci čísel. V poslední části práce rozebírá dopady faktorizace na RSA a délky klíčů tohoto algoritmu. Ukazuje klíče, které již byly prolomeny a ty, které by se měly používat v současné době. Nakonec popisuje hrozbu kvantových počítačů na prolomení algoritmu RSA téměř nezávisle na délce klíče a vysvětluje, jak reálná v dnešní době je.

Abstract:

The aim of this thesis is to introduce readers to factorization of large numbers, describe the issue of factorization and its methods and analyze their impact on asymmetric cryptography, especially on RSA. The thesis first explains the RSA encryption algorithm, principles of its operation and security. Then it deals with the problem of factorization. It describes both methods that were used long times ago, namely the trial division algorithm, Fermat method and Euler algorithm, as well as their modern successors, namely Pollard p-1 method, Lenstra method, Dixon factorization method, quadratic sieve and general number field sieve. It also describes how quantum computers work, their purpose and use in Shor's factorization algorithm. In the last part of the thesis, the impact of factorization on RSA and RSA key length is discussed. It analyzes keys that have already been broken, those that should be used now. Finally, it describes the threat of quantum computers to break the RSA almost independent of key length and explains how real it is today.

Keywords

asymetrická kryptografie, faktorizace, kvantový počítač, RSA, Shorův algoritmus

Keywords

factorization, asymmetric cryptography, quantum computer, RSA, Shor algorithm

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 5. 2. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 4. 2. 2020
• Supervisor: Jiří Ivánek
• Reader: Radomír Palovský

Vysoká škola ekonomická v Praze

Bachelor programme / field:
Aplikovaná informatika / Aplikovaná informatika