Exploring matrix completion methods for high-dimensional quantum entanglement certification

Bc. et Bc. Roman Solař

Master's thesis

Abstract:

Tato práce představuje různé techniky certifikace provázanosti pro neúplné matice hustoty izotropních kvantových stavů, a to pro dvě široce používané míry provázanosti: Schmidtovo číslo a entanglement of formation. Pomocí numerických simulací hledáme nejlepší diagonály a jejich kombinace k měření, abychom pro tyto míry získali vhodnou dolní mez, i když je matice hustoty známa jen částečně. Zjišťujeme, že pro obě míry se dobře osvědčují podobné diagonály a že změření vybraných tří diagonál stačí k dosažení téměř optimální certifikace. Práce poskytuje praktický návod na výběr vhodných diagonál za různých předpokladů a nabízí vysvětlení některých získaných poznatků. Kromě toho také srovnáváme efektivitu různých technik pro certifikaci Schmidtova čísla. Většina našich experimentálních výsledků však zůstává nevysvětlena a vyžaduje další zkoumání. Naše zjištění mohou být přínosem pro různé oblasti, které se spoléhají na certifikaci provázanosti, například kvantovou komunikaci, kryptografii a kvantové výpočty. Mohou pomoci optimalizovat proces certifikace a umožnit efektivnější a přesnější zpracování kvantové informace. Budoucí výzkum by mohl prozkoumat další míry provázanosti a certifikační techniky a také rozšířit naše výsledky na obecnější třídy kvantových stavů.

Abstract:

This thesis presents various entanglement certification techniques for incomplete density matrices of isotropic quantum states, for two widely used entanglement measures: the Schmidt number and the entanglement of formation. Through extensive numerical simulations, we identify the best diagonals and their combinations to measure in order to obtain reliable lower bounds on these measures, even when the density matrix is only partially known. Surprisingly, we find that similar diagonals perform well for both measures, and that measuring only three diagonals is often enough to achieve near-optimal certification. The thesis provides practical guidelines on selecting suitable diagonals in various settings and offers some theoretical insights into the underlying phenomena. We also compare the performance of different bounding techniques for the Schmidt number. However, most of our experimental results remain unexplained and call for further investigation. Our findings may bring benefits to various fields that rely on entanglement certification, such as quantum communication, cryptography, and quantum computing. They could help optimize the certification process and enable more efficient and accurate quantum information processing. Future work could explore other entanglement measures and certification techniques, as well as extend our results to more general classes of quantum states.

Keywords

quantum entanglement, entanglement certification, entanglement of formation, Schmidt number, quantum fidelity

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 16. 5. 2023

Thesis defence

• Date of defence: 19. 6. 2023
• Supervisor: RNDr. Matej Pivoluska, Ph.D.
• Reader: doc. RNDr. Martin Plesch, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Master programme / field:
Theoretical computer science / Quantum and Other Nonclassical Computational Models