Vektorové metody v euklidovské geometrii

Mgr. Jarmila Elbelová, PhD.

Doctoral thesis

Vector Methods in Euclidean Geometry

Abstract:

Předložená práce je metodickým textem věnovaným uplatnění vektorových výpočtů v elementární geometrii. Tato metoda je v této práci využívána jak při odvozování geometrických tvrzení, tak při řešení rozličných geometrických úloh, a to téměř vždy bez užití souřadnic. V první teoretické kapitole jsou popsány základní pojmy a poznatky vektorové algebry. Zvláštní důraz je zde kladen na rozdíly mezi postavením vektorů v geometrii středních a vysokých škol. Následující tři kapitoly pak předkládají mnoho ukázek využití vektorů v eukleidovské planimetrii i stereometrii. Každá z těchto kapitol je rozdělena na dvě podkapitoly. V první z nich vždy uvádíme příklady, které mají všeobecně známý geometrický význam, nebo které využijeme při řešení dalších úloh, ve druhé pak rozmanité úlohy s detailně zapsaným řešením doplněným zpravidla obrázkem. Druhá kapitola se zabývá vektorovými výpočty afinních vztahů vyjádřených bez užití délek úseček a velikostí úhlů. Třetí nejobsáhlejší kapitola pak předkládá příklady a úlohy řešené užitím skalárního součinu vektorů. Obě podkapitoly jsou zde rozčleněny do jednotlivých paragrafů podle témat a metod řešení zařazených příkladů a úloh. Čtvrtá kapitola se věnuje využití vektorového a smíšeného součinu vektorů. U všech převzatých příkladu a úloh uvádíme odkaz na zdroj ze závěrečného seznamu použité literatury čítající 55 položek -- 44 knih nebo sbírek úloh, 6 časopiseckých příspěvků, 5 internetových a jiných dokumentů. Náměty a řešení některých úloh jsou původní.

Abstract:

The submitted work is a methodical text mostly aimed at the use of vector calculations in elementary geometry. This method is applied in deriving geometric statements as well as solving various geometric problems, mostly without using coordinates. In the introductory, theoretically conceived Chapter 1, the basic notions and results of vector algebra are described. A special emphasis is put on the differences between the standing of vectors in secondary school geometry and geometry of university level. The three following chapters present numerous examples of the use of vectors in Euclidean plane and solid geometry. Each of these chapters is divided into two subchapters. The first of them give examples which have a generally known geometric meaning or are used in solving other problems. The second subchapters contain various problems with detailed solutions, mostly supplied with illustrations. Chapter 2 deals with vector calculations of affine relations expressed without using line segment lengths and angle sizes. The largest Chapter 3 provides examples and problems solved by means of the scalar (dot) product of vectors. The two subchapters are divided into individual paragraphs according to the topics and solution methods of the presented examples and problems. Chapter 4 deals with the use of the vector and mixed product of vectors. The sources of all the included examples and problems are mentioned with reference to the final bibliography. The list contains 55 items – 44 books and collections of problems, 6 journal contributions, 5 internet or other sources. The subjects and solutions of some problems are original.

Keywords

matematika, eukleidovská geometrie, vektorová algebra, vektorové výpočty, metody výpočtů, mathematics, Euclidean geometry, vector computations, methods of computations

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 3. 2011

Thesis defence

• Date of defence: 16. 5. 2011
• Supervisor: doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc.
• Reader: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc., doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / General Problems of Mathematics and Informatics