Užití mnohoznačných funkcí v ekonomii

Bc. Michaela GABRHELÍKOVÁ

Master's thesis

Application of multivalued functions in economics

Abstract:

Práce je rozdělena do tří částí. První kapitola obsahuje definice mnohoznačné funkce a základní vlastnosti týkající se především její (polo)spojitosti. Polospojitost i spojitost jsou pro objasnění demonstrovány na příkladech. Ve druhé kapitole jsou uvedeny základní poznatky z teorie her, jako například definice hry, popis hry pomocí matice, či smíšené rozšíření maticové hry. Je zde definována Nashova rovnováha, její význam a příklady. Druhá kapitola obsahuje také základní větu teorie maticových her, která říká, že smíšené rozšíření každé maticové hry má Nashovu rovnováhu. Věta je uvedena včetně důkazu využívajícího Kakutaniho větu, tedy větu dokazující existenci pevného bodu mnohoznačné funkce. V práci je uveden i důkaz Kakutaniho věty. Celá druhá kapitola je provázena vysvětlujícím příkladem hry "Kámen, nůžky, papír" a na této hře je i důkaz existence Nashovy rovnováhy ilustrován. Třetí kapitola pojednává o abstraktní ekonomice jakožto hře s N účastníky. Každý účastník má svou výplatní funkci a jeho rozhodnutí je ovlivněno rozhodnutím všech ostatních účastníků. Toto rozhodnutí každého účastníka lze popsat právě mnohoznačnou funkcí. Na závěr jsou uvedeny podmínky formulované Debreuem, jejichž splnění vede v této abstraktní ekonomice k dosažení Nashovy rovnováhy.

Abstract:

The work is divided into three parts. The first chapter contains definitions of multivalued functions and their basic properties, in particular relating to their (semi)continuity. Semicontinuity and continuity are for clarification demonstrated on examples. The second chapter provides the basics of game theory: The definition of a game, description of a game with a matrix, and distinction of pure and mixed strategies. The concept of Nash Equilibrium is defined, and its meaning is explained in examples. The second chapter also contains the fundamental theorem of matrix games theory which says that any mixed extension of a matrix game has a Nash Equilibrium. The theorem is presented-including the proof by means of Kakutani´s Fixed Point Theorem for multivalued functions. The proof of Kakutani´s Theorem is also included. The entire second chapter is accompanied by an explanatory example of the game "Rock, paper, scissors" and the proof of the existence of a Nash Equilibrium is illustrated on this game. The third chapter deals with the economy modeled as an abstract game with N players. Each participant (player) has his payoff function and his decision is influenced by all other participants. The decision of each participant can be described by a multivalued function. Finally, the conditions formulated by Debreu are recalled which ensure that the abstract economy model has a Nash Equilibrium.

Keywords

Mnohoznačné zobrazení, pevný bod, malý a velký vzor zobrazení, polospojitost shora, polospojitost zdola, spojitost, hausdorffovská spojitost, rozhodovací situace, hra v normálním tvaru, hra s konstantním součtem, hra s nekonstantním součtem, výplatní funkce, ryzí strategie, smíšené strategie, Nashova rovnováha, Kakutaniho věta, Brouwerova věta, abstraktní ekonomika.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 3. 2012

Accessible from:: 30. 3. 2012

Thesis defence

• Supervisor: Prof. RNDr. dr hab. Jan Andres, DSc.

PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Applications of Mathematics in Economy