Metrický prostor spojitých funkcí: teorie a aplikace

Bc. Filip Svoboda

Bachelor's thesis

Metric space of continuous functions: theory and applications

Abstract:

V této bakalářské práci pojednáváme o metrických prostorech spojitých reálných funkcí na kompaktních a nekompaktních intervalech s metrikou stejnoměrné konvergence, metrikou lokální stejnoměrné konvergence a integrální metrikou. Srovnáváme jejich základní vlastnosti, klasifikujeme je z hlediska úplnosti, popisujeme jejich kompaktní podprostory a dokazujeme Weierstrassovu větu o aproximaci. Prezentujeme řadu aplikací vybudované teorie v ostatních odvětvích matematické analýzy, zejména ve funkcionální analýze, teorii míry a teorii diferenciálních rovnic.

Abstract:

In this bachelor's thesis we elaborate the metric spaces of continuous real functions on compact and non-compact intervals with the uniform convergence metric, local uniform convergence metric and the integral metric. We compare their fundamental properties, classify them based on completeness, describe their compact subspaces and we prove the Weierstrass approximation theorem. We present several applications of the theory in other branches of mathematical analysis, namely in the functional analysis, measure theory and the theory of differential equations.

Keywords

Metrický prostor, Spojitá funkce, Stejnoměrná konvergence, Lokální stejnoměrná konvergence, Integrální metrika, Úplnost, Kompaktnost, Obyčejná diferenciální rovnice, Metric space, Continuous function, Uniform convergence, Local uniform convergence, Integral metric, Completeness, Compactness, Ordinary differential equation

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 5. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 21. 6. 2019
• Supervisor: prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
• Reader: doc. Mgr. Petr Zemánek, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Mathematics / Mathematics