Eliptické křivky nad racionálními čísly

Bc. Lenka Macálková

Diplomová práce

Elliptic curves over Rational Numbers

Anotace:

Cílem této práce je představit čtenáři eliptické křivky nad tělesem racionálních čísel. V první kapitole jsou stanoveny základní pojmy, definována operace sčítání bodů na eliptické křivce a jsou zde odvozeny explicitní vzorce pro tuto operaci. V další kapitole se zabýváme body konečného řádu. Hlavní část této kapitoly obsahuje důkaz a některé aplikace Nagell-Lutzovy věty. Poslední kapitola je zaměřena na důkaz Mordellovy věty a výpočet ranku eliptické křivky. Na konci každé kapitoly je text zabývající se výpočty na eliptických křivkách s pomocí softwarového balíku PARI/GP.

Abstract:

The aim of this thesis is to introduce elliptic curves over the field of rational numbers. The first chapter provides basic terms, defines the addition of points on an elliptic curve and derives explicit formulae for this operation. The next chapter deals with points of finite order. The main part of this chapter contains a proof and some applications of Nagell-Lutz theorem. The last chapter is dedicated to a proof of Mordell theorem and a computation of the rank of an elliptic curve. At the end of each chapter there is a text concerning computations on elliptic curves by means of the software package PARI/GP.

Klíčová slova

Eliptická křivka, Nagell-Lutzova věta, Mordellova věta, racionální bod eliptické křivky, rank, PARI/GP. Elliptic curve, Nagell-Lutz Theorem, Mordell Theorem, rational point of elliptic curve, PARI/GP

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 12. 5. 2011

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 9. 6. 2011
• Vedoucí: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.
• Oponent: Mgr. Michal Bulant, Ph.D.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Magisterský studijní program / obor:
Matematika / Učitelství matematiky pro střední školy