Analýza matematických modelů pro proudění tekutin v porézním nenasyceném prostředí

Mgr. Jakub KMEC

Doctoral thesis

Analysis of the mathematical models for unsaturated porous media flow.

Abstract:

Modelling unsaturated porous media flow is a complex problem with many important applications. There is sufficient experimental and theoretical evidence of porous media flow regimes that are impossible to explain by the standard continuum mechanics models. In this thesis, a semi-continuum model is presented that combines the virtues of the continuum and discrete models based on invasion percolation. The medium is divided into blocks of finite (not infinitesimal) size that retain the characteristics of a porous medium. Each block sample of porous medium is characterized by its porosity, permeability, and the retention curve. The semi-continuum model describes pressure and saturation as fields that are continuous in time but piecewise constant in space. The model repeats three successive rules: saturation update in each block, pressure update in each block and flux update between neighbouring blocks. The limit of the semi-continuum model is very substantial and is not compatible with continuum mechanics approach. It is demonstrated that the model captures well (1) all the features of one dimensional unsaturated porous media flow (i.e. three dimensional flow in a thin tube), (2) all the features of two dimensional unsaturated porous media flow (i.e. three dimensional flow in a Hele-Shaw cells). Finally, the limit of the semi-continuum model is presented.

Abstract:

Modelování proudění v nenasyceném porézním prostředí je komplexní problém s mnoha důležitými aplikacemi. Existuje spousta režimů proudění v porézním prostředí, které není možno vysvětlit modely založené na mechanice kontinua. V této práci je prezentován semi-spojitý model, který kombinuje přednosti spojitých modelů a diskrétních modelů založených na invazní perkolaci. Porézní prostředí je rozděleno do bloků, jež nejsou infinitezimální. Každý blok porézního prostředí je charakterizován porozitou, permeabilitou a retenční křivkou. Semi-spojitý model popisuje tlak a saturaci, které jsou spojité v čase, ale po částech konstantní v prostoru. Model opakuje tři po sobě jdoucí pravidla: aktualizace saturace v každém bloku, aktualizace tlaku v každém bloku a aktualizace proudění mezi sousedními bloky. Limita semi-spojitého modelu je velmi podstatná a není kompatibilní s přístupem mechaniky kontinua. Je ukázáno, že model zachytí správně (1) všechny vlastnosti proudění v jednorozměrném nenasyceném porézním prostředí (tj. třírozměrné proudění v tenké trubici), (2) všechny vlastnosti proudění v dvourozměrném nenasyceném porézním prostředí (tj. třírozměrné proudění v Hele-Shaw buňkách). Nakonec je prezentována limita semi-spojitého modelu.

Keywords

Proudění v porézním prostředí, Saturační přesycení, Nestabilita smáčecí fronty, Semi-spojitý model, Darcy-Buckinghamův zákon, Invazní perkolace, Richardsova rovnice, Proudění v prstech

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 3. 2021

Thesis defence

• Supervisor: RNDr. Rostislav Vodák, Ph.D., RNDr. Rostislav Vodák, Ph.D.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis