Celé normální báze A-ideálů

Mgr. Viktor DUBOVSKÝ

Doctoral thesis

Ambiguous ideal and their normal bases

Abstract:

Tématem předkládané doktorské práce je studium vlastností A-ideálů, tj. ideálů, které jsou invariantních vzhledem k akci Galoisovy grupy. Především se pak zabývá určením podmínek existence celých normálních bází takových ideálů v cyklických rozšířeních tělesa racionálních čísel. Cílem je navázat na již známé výsledky dosažené v dané oblasti a dále je prohloubit výsledky vlastními. Práce tedy v úvodu obsahuje kapitoly, které dosažené výsledky shrnují. Kapitola 2 odkazující na článek S.Ulloma [14], ve kterém autor popisuje všechny A-ideály okruhu celých algebraických čísel Z_K Galoisova rozšíření K/Q jako Galoisovy moduly a udává podmínky, jejichž splnění zaručuje existenci celé normální báze těchto ideálů. V Kapitole 3 to je článek S.Jakubce a J.Kostry [7], podávající podmínky existence celé normální báze A-ideálů v cyklických rozšířeních prvočíselného stupně l. Autoři zde využívají vztahů mezi l-tým cyklotomickým rozšířením a okruhem cirkulantních matic řádu l, které normální báze v cyklických rozšířeních transformují. V dalších kapitolách jsou již uvedeny výsledky, na kterých jsem se podílel a byly uveřejněny jako články v odborných časopisech. Jsou to články [4] a [3] obsažené v Kapitole 4. K dosažení těchto výsledků bylo použito poněkud upravených metod z článku [7]. Bylo tak ukázáno, že existence celé normální báze A-ideálů v cyklických rozšířeních stupně 2l, s lichým prvočíslem l, nezávisí pouze na existenci prvku $\gamma \in \Q(\zeta_{l})$ danych vlastnosti, jako tomu je v rozšířeních prvočíselného stupně, ale také na existenci vhodné jednotky $\omega \in \Q(\zeta_{l}).$ Závěrečná Kapitola 6 je věnována výsledkům článku [2], který používané metody dále zkoumá a upravuje, aby je bylo lze použít pro cyklická rozšíření stupně 9. Ukazuje se tak, že nestačí uvažovat pouze prvky resp. jednotky tělesa $\Q(\zeta_{9}),$ ale i prvky z tělesa $\Q(\zeta_{3}).$ Přílohy obsahují příklady ilustrující výsledky jednotlivých kapitol. Dále pak výpočtovými metodami nalezená cyklická rozšíření K/Q stupně 2l, pro prvočíslo l<= 19, v nichž má každý A ideál celou normální bázi, ale také rozšíření taková, v nichž celé normální báze A-ideálů neexistují.

Abstract:

The theme of this thesis is the study of properties of ambiguous ideals in cyclic extensions of the rationals. Especially it investigates conditions for existence of normal integral bases of such ideals. The main aim is to enlarge known results, namely those of S.Jakubec and J.Kostra. The thesis contains chapters summarizing these results. The Chapter 2 corresponds to paper of S.Ullom [14], in which he describes all ambiguous ideals of the ring of integers $\Z_{K}$ of some Galois extension K/Q as Galois modules and gives conditions for existence of normal integral bases of such modules. The Chapter 3, S.Jakubec and J.Kostra paper [7], deals with conditions for existence of normal integral bases of ambiguous ideals in cyclic extensios prime degree l. Authors use relationship between the l-th cyclotomic field and the ring of circulant matrices of order l, which transforms normal bases in cyclic extensions. In the next chapter there are results of my joint papers together with J. Kostra and V.Lazar [4] resp. with J.Kostra [3]. Those results are obtained by modification of methods used in [7] and it is shown that the existence of normal integral basis of an ambiguous ideal in cyclic extensions of degree 2l, with odd prime $l,$ depends not only on existence of $\gamma \in \Q(\zeta_{l})$ with prime norm, but also on the existence of suitable unit $\omega \in \Q(\zeta_{l}).$ The last Chapter [6], my paper, shows that it is not sufficient to examine elements and units of the field $\Q(\zeta_{9}),$ but also elemnets of $\Q(\zeta_{3}).$ The appendices contains examples ilustrating results of Chapter [4] and Chapter [6]. Finnaly I use computational methods to find cyclic extensions $K/\Q$ of degree $2l,$ with prime $l\leq 19,$ in which all ambiguous ideal have normail integral basis, but also extensions in which none of ambiguous ideal has a normal integral basis.

Keywords

Okruh celých algebraických č?sel, celá normální báze, cirkulantní matice, A-ideál

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 1. 7. 2009

Accessible from:: 1. 7. 2009

Thesis defence

• Date of defence: 3. 2. 2011
• Supervisor: doc. RNDr. Juraj Kostra, CSc.

University of Ostrava

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Algebra