Algoritmy pro skalární násobení na eliptických křivkách a jejich využití v kryptografii

Bc. Štěpánka Gennertová

Bachelor's thesis

Algorithms for scalar multiplication on elliptic curves and their applications in cryptography

Abstract:

V této bakalářské práci se věnujeme různým algoritmům pro skalární násobení na eliptických křivkách. Představujeme také základní vlastnosti často využívaných reprezentací eliptických křivek a souřadnicových systémů, neboť jsou důležitým faktorem při detailním porovnání doby výpočtu jednotlivých algoritmů. Vytváříme přehled nejen algoritmů počítajících skalární násobek jednoho bodu, ale zaměřujeme se i na metody použitelné pro výpočet součtu více skalárních násobků. Dále se podrobněji věnujeme Montgomeryho žebříku, velmi populárnímu algoritmu, který je rychlý a zároveň odolný proti mnohým útokům. Při porovnávání jednotlivých algoritmů zohledňujeme jejich časovou a paměťovou náročnost, náchylnost k útokům postranním kanálem a diskutujeme také využití algoritmů ve vybraných knihovnách.

Abstract:

In this thesis, we study algorithms for scalar multiplication on elliptic curves. We~also introduce the basic properties of frequently used representations of elliptic curves and coordinate systems because we have to consider them when performing a detailed comparison of different algorithms. We create an overview of algorithms for single-scalar multiplication and we also study multi-scalar multiplication methods, which computes a linear combination of points. Then, we focus on the Montgomery ladder, a very popular algorithm, which runs fast and is resistant to many kinds of attacks as well. For a comparison of the algorithms, we consider a time complexity, an~amount of~required memory, vulnerable to side channel attacks, and the usage of the algorithm in selected cryptographic libraries.

Keywords

eliptické křivky, skalární násobení, algoritmy, Montgomeryho žebřík, kryptografie, lineární kombinace skalárních násobků, kryptografické knihovny, elliptic curves, scalar multiplication, point multiplication, Montgomery ladder, cryptography, multi-scalar multiplication, cryptographic libraries

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 14. 5. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 20. 6. 2019
• Supervisor: Mgr. Vladimír Sedláček
• Reader: Mgr. Pavel Francírek

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Mathematics / Modelling and Calculations