Theory of Principal Solutions at Infinity for Linear Hamiltonian Systems

Mgr. Peter Šepitka, Ph.D.

Doctoral thesis

Theory of Principal Solutions of Infinity for Linear Hamiltonian Systems

Abstract:

V této disertační práci budujeme teorii hlavních a antihlavních řešení v nekonečnu pro lineární hamiltonovské systémy bez předpokladu kontrolovatelnosti. Dokážeme existenci a základní vlastnosti hlavních a antihlavních řešení takových neoscilatorických systémů. Dále ukazujeme, že hlavní a antihlavní řešení lze klasifikovat podle hodnosti jejich první komponenty a že tyto řešení existují pro každou hodnost mezi explicitně danou minimální a maximální hodností. Minimální hodnost pak odpovídá minimálnímu hlavnímu a antihlavnímu řešení, které zobecňuje klasické hlavní a antihlavní řešení definované W. T. Reidem, P. Hartmanem, W. A. Coppelem a C. D. Ahlbrandtem pro úplně kontrolovatelné systémy. Naproti tomu maximální hlavní řešení (odpovídající maximální hodnosti) se shoduje s hlavním řešením v nekonečnu, které již dříve představil Reid pro obecné nekontrolovatelné lineární hamiltonovské systémy. Zavedením nového pojmu genu (nebo také rodu) izotropických bází jsme v práci také odvodili klasifikaci všech hlavních a antihlavních řešení, které mají eventuálně stejný obraz, a limitní charakterizaci hlavních řešení. Důkazy a metody jsou založeny na detailní analýze izotropických bází s danou hodností a na jejich konstrukci z minimálních izotropických bází. Naši novou teorii jsme také doplnili několika ilustrujícími příklady. Práce na disertaci byla podpořena projektem specifického výzkumu MUNI/A/0821/2013 Masarykovy univerzity.

Abstract:

In this dissertation we develop the theory of principal and antiprincipal solutions at infinity for linear Hamiltonian systems without any controllability assumption. We prove the existence and basic properties of principal and antiprincipal solutions for such nonoscillatory systems. Moreover, we show that principal and antiprincipal solutions can be classified according to the rank of their first component and that they exist for any rank in the range between explicitly given minimal and maximal values. The minimal rank then corresponds to the minimal principal and antiprincipal solutions at infinity, which generalize the classical principal and antiprincipal solutions at infinity developed by W. T. Reid, P. Hartman, W. A. Coppel, and C. D. Ahlbrandt for completely controllable systems. On the other hand, the maximal principal solution (corresponding to the maximal rank) coincides with the principal solution at infinity introduced by Reid for general, possibly abnormal linear Hamiltonian systems. By using a new concept of genera of conjoined bases, we also derive a classification of all principal and antiprincipal solutions, which have eventually the same image of their first component, as well as we establish a limit characterization of principal solutions. The proofs and methods are based on a detailed analysis of conjoined bases with a given rank and their construction from the minimal conjoined bases. Finally, we illustrate our new theory by several examples. This research was supported by grant MUNI/A/0821/2013 of Masaryk University.

Keywords

Lineární hamiltonovský systém, Hlavní řešení v nekonečnu, Minimální hlavní řešení v nekonečnu, Antihlavní řešení v nekonečnu, Legendreova podmínka, Neoscilace, Kontrolovatelnost, Normalita, Řád abnormality, Ekvivalence řešení, Izotropická báze, Genus izotropických bází, Moore--Penroseova pseudoinverze, Ortogonální projektor, Linear Hamiltonian system, Principal solution at infinity, Minimal principal solution at infinity, Antiprincipal solution at infinity, Legendre condition, Nonoscillation, Controllability, Normality, Order of abnormality, Equivalence of solutions, Conjoined basis, Genus of conjoined bases, Moore--Penrose pseudoinverse, Orthogonal projector

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 3. 11. 2014

Thesis defence

• Date of defence: 10. 12. 2014
• Supervisor: prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
• Reader: prof. Dr. Werner Kratz, prof. RNDr. Jaroslav Jaroš, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Mathematical Analysis