Numerické metody pro hledání vlastních čísel

Bc. Mária Šimková

Master's thesis

Numerical methods for eigenvalues

Abstract:

In this thesis we deal with a problem of eigenvalues on a finite dimensional vector space. Whereas we focus on deriving a convergence of numerical methods under suitable assumptions eventually on estimation of a distance between exact and approximative eigenvalues (eigenvectors) of a certain linear operator. In this way we deal with the power method and the Rayleigh quotient method at which its convergence is derived on the basis of operator function idea. Further we look to projection methods onto Krylov subspaces especially we describe the Arnoldi method using the Householder transform. In a case of some projective methods we discuss a relation between generators of Krylov subspaces and formal orthogonal polynomials. There is also comparison of exact and approximative eigenvalues (eigenvectors) given by the Lanczos algorithm using the Chebyshev polynomials. At the end we compare discused algorithms on suitable examples.

Abstract:

V této práci se zabýváme problémem vlastních čísel na konečně rozměrném vektorovém prostoru. Přičem důraz hlavně klademe na odvození konvergence numerických metod za vhodných předpokladů případně odvození odhadu vzdálenosti mezi exaktními a aproximativními vlastními hodnotami (vektory) nějakého lineárního operátoru. Tímto způsobem se zabýváme mocninovou metodou a metodou Rayleighova podílu, při které konvergence je odvozená na základě ideje o operátorové funkci. Dále se věnujeme projekčním metodám na Krylovově podprostory, kde například popisujeme Arnoldiho metodu za využití Householderovy transformace. V případě některých projekčních metod diskutujeme vztah mezi generátory Krylovových podprostorů a formálně ortogonálními polynomy. Též se věnujeme porovnání exaktních a aproximativních vlastních hodnot (vektorů) určených Lanczosovým algoritmem za využití Čebyševových polynomů. Na závěr porovnáme diskutované algoritmy na vhodných příkladech.

Keywords

Householderova transformace, Mocninná metoda, Metoda Rayleighova podílu, Arnoldiho metody, Lanczosovy metody, Čebyševovy polynomy, Krylovovy podprostory, Householder transform, Power method, Rayleigh quotient method, Arnoldi methods, Lanczos methods, Chebyshev polynomials, Krylov subspaces

Language used: Slovak

Date on which the thesis was submitted / produced: 12. 5. 2016

Thesis defence

• Date of defence: 14. 6. 2016
• Supervisor: doc. Mgr. Jan Koláček, Ph.D.
• Reader: Mgr. Jiří Zelinka, Dr.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Statistics and Data Analysis