Efektivní numerické metody pro simulace říčního proudění a rozlivů

Ing. Hana KOPINCOVÁ

Doctoral thesis

Effective numerical methods for river flows and overflowing simulations

Abstract:

Tato práce se zabývá matematickým modelováním zákonů zachování a bilančních vztahů. Konkrétně jde o modely pro říční proudění, tzv. Saint-Venantovy rovnice, které jsou reprezentované nehomogenními parciálními diferenciálními rovnicemi hyperbolického typu. Formulace uvedených modelů může být jak konzervativní, tak nekonzervativní, a proto je v této práci shrnuta teorie týkající se klasického i zobecněného Riemannova problému pro konzervativní i nekonzervativní systémy a~vyjasněna souvislost jejich řešení. Je shrnuta teorie týkající se metody konečných objemů Godunovova typu pro oba systémy, a to z několika pohledů. Jednak jde o tzv. "tokový" tvar metody (pouze u konzervativních systémů), který je jakousi diskrétní analogií skutečného fyzikálního toku, a jednak se zde zabýváme tzv. "vlnovým", či "fluktuačním" tvarem metody konečných objemů, který je formulován i pro nekonzervativní systémy. Skoky v zachovávaných veličinách lze chápat jako vlny, které se šíří doleva nebo doprava, nebo jako fluktuace, tedy míru efektu zmíněných vln šířících se doleva nebo doprava. Popsaná teorie je využita ke konstrukci konkrétních numerických metod, včetně jejich podrobného odvození. Možností rozdělení metod je několik. Hlavním dělením je na metody s Riemannovým řešičem a bez něj. Dále je možnost rozdělit metody na centrální, typu central-upwind a typu upwind. Metody jsou odvozeny dvěma způsoby. Jednak pomocí adaptivního dělení sítě a jednak pomocí řibližných Riemannových řešičů. Jsou ukázány souvislosti mezi jednotlivými metodami, které nám umožňují lepší pochopení chování těchto schémat. Dále je rozebrána problematika pravé strany, tedy bilančních vztahů, hlavně možnosti aproximace zdrojových členů, či přechodu na nekonzervativní systém. Popsané a odvozené numerické metody jsou dále využity k simulacím říčního proudění, tedy konkrétních fyzikálních situací. V neposlední řadě je zde uveden alternativní a jednodušší model, nazývaný kinematická vlnová aproximace, která je v popsané podobě použita v systému FLOREON^+ -Nástroj pro řešení krizových situací.

Abstract:

This thesis deals with mathematical modelling of conservation and balance laws. Particularly, we study river flow models based on Saint-Venant equations that are represented by nonhomogeneous hyperbolic partial differential equations. The introduced models are in their both conservative or nonconservative forms. The theory of classical and generalized Riemann problem for conservative and nonconservative systems is summarized, their solutions are presented and a relation between solutions is shown. We deal with theory of Godunov type finite volume methods from several points of view. The first one is called the "flux" formulation (it is possible only for conservative systems), which is the discrete analogy to real physical flux. Other possibilities are "wave-propagation" and "fluctuation" forms formulated for both conservative and nonconservative systems. Jumps in conserved quantities can be understand as waves propagating to the left or to the right or as fluctuations that measure net effects of all right-going or left-going waves. Described theory is used for the numerical schemes construction including their derivation. The finite volume methods can be categorized by several criteria. One of this criterion is using Riemann solver (exact or approximate). Then we get the Riemann-free methods and methods with Riemann solver. Other categories are central, central-upwind and upwind methods. Presented numerical schemes are derived in two ways. The first one is based on adaptive intervals and the second one uses approximate Riemann solvers. Relations between them are explained. Further, we analyze the right hand side problem, i.e. the balance laws. We discuss different possibilities of source terms approximations and right hand side conservative systems modification to homogeneous nonconservative systems. Described and derived numerical schemes are used for river flow simulations. Finally, we introduce an alternative simpler model called kinematic wave approximation. This model is used in the simulation system FLOREON^+ (FLOods REcognition on the Net)

Keywords

Konzervativní soustavy, nekonzervativní soustavy, Riemannův problém, metoda konečných objemů, zákony zachování, bilanční vztahy, centrální metoda, metoda typu upwind, metoda typu central-upwind, říční proudění.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 7. 4. 2011

Accessible from:: 1. 1. 2099

Thesis defence

• Date of defence: 1. 7. 2011
• Supervisor: Doc. Ing. Marek Brandner, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics