Wavelety

Bc. Daniela Cvejnová

Bachelor's thesis

Wavelets

Anotácia:

Bakalářská práce se zabývá konstrukcemi waveletových bází a jejich využitím k numerickému řešení diferenciálních rovnic. V teoretické části jsou uvedeny definice základních pojmů jako je waveletová funkce, Rieszova báze nebo projekce. V této části je také zaveden koncept multirozkladu, který je později užíván pro konstrukci waveletové báze. Jsou zde definovány i biortogonální wavelety a zavedena waveletová báze na intervalu. Kapitola "B-spliny" pojednává o důležitém typu funkcí, které jsou pak také využity ke konstrukci waveletových bází. Detailně je probrán nejjednodušší příklad waveletu tzv. Haarův wavelet, které je založen na B-splinu nultého řádu. Ve druhé části práce je specifikována obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu, která je následně přibližně řešena pomocí waveletů. Integrály ze slabé formulace úlohy jsou počítány ze škálové báze a následně jsou waveletou transformací převedeny do waveletové báze. Nakonec jsou uvedeny tři konstrukce waveletových bází a ty jsou aplikovány na řešení uvedené rovnice.

Abstract:

The bachelor thesis focuses on the construction of wavelet bases and their application of the numerical solution of differential equations. In the theoretical part key term definitions such as wavelet function, Riesz bases or projection are stated. This part also introduces the concept of multiresolution analysis, which is used later for the construction of wavelet bases. Biorthogonal wavelets and wavelet bases adapted to the interval are also defined in this part. Chapter "B-splines" describes an important type of functions, which are then used for construction of wavelet bases. There is also discussed in detail the simplest example of the so-called wavelet Haar wavelet, which is based on B-spline of the zero order. In the second part the ordinary differential equation is specified, which is then approximately solved using wavelets. Integrals from the weak formulation are calculated from the scale bases and consequently converted into wavelet bases using wavelet transform. At the end three constructions of wavelet bases are stated and these are applied to the solution of the equation.

Kľúčové slová

Rieszova báze, wavelet, škálovací funkce, B-spline, kubický Hermitův spline, diferenciální rovnice, waveletová transformace

Jazyk práce: Czech

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 28. 6. 2013

Zverejniť od: 28. 6. 2013

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 3. 9. 2013
• Vedúci: RNDr. Václav Finěk, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Sciences, Humanities and Education

Bachelor programme / odbor:
Mathematics / Mathematics