Modelování Diracovy rovnice metodou konečných prvků

Bc. Patrick Gono

Diplomová práce

FEM modelling of Dirac's equation

Anotace:

Tato práce se zaměřuje na studium okrajových úloh pro jednočásticové relativistické problémy za použití metody konečných prvků. Cílem práce je implementovat Galerkinův formalizmus pro řešení úloh s obecným potenciálem v rámci plného bispinorového tvaru Diracovy rovnice ve třech prostorových souřadnicích. Dva problémy byly vyřešeny analyticky – relativistická částice v potenciálové jámě a vodíku podobný atom – a slouží jako etalon pro simulace metodou konečných prvků. Dále byla v rámci srovnání studována pomocí metody konečných prvků vybraná řešení Schrödingerovy rovnice a také diskretizace Diracovy rovnice pomocí metody konečných diferencí. Použité numerické metody obecně přináší uspokojivé výsledky v jednorozměrných simulacích, ve 3D případě však selhávají. Hledání vysvětlení a možností nápravy této situace jsou součástí práce.

Abstract:

The aim of this thesis is to study relativistic single particle boundary value problems using the linear Galerkin finite element method. The goal is to implement the method for an arbitrary potential using the full bi-spinor description in three-dimensional spatial coordinates. Two problems are solved analytically - a relativistic particle in a box and a hydrogen-like atom - and serve as a comparison to the results of the finite element simulations. The finite element implementation of the Schrödinger equation and the finite difference discretization of the Dirac's equation are being studied as well. The numerical methods used provide satisfactory results for relativistic problems in one dimension, but fail in the general 3D Cartesian coordinates. Likely explanations and possible solutions are addressed and discussed.

Keywords

Metoda konečných prvků, Galerkinova formulace, Diracova rovnice, částice v potenciálové jámě, vodíkový atom, Metoda konečných diferencí, diskretizace, FEM, Finite element method, Galerkin formulation, Dirac's equation, particle in a box, hydrogen atom, FD, Finite difference, discretization

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 16. 5. 2016

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 15. 6. 2016
• Vedoucí: Mgr. Dušan Hemzal, Ph.D.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Magisterský studijní program / obor:
Fyzika / Fyzika kondenzovaných látek