Fuzzy pravděpodobnostní prostory

Mgr. Pavla ROTTEROVÁ

Doctoral thesis

Fuzzy probability spaces

Abstract:

V ekonomické praxi je náhodný jev mnohdy vágně vymezen jako např. vysoká míra inflace. Takové neurčité jevy je vhodné modelovat pomocí fuzzy množin. Nejprve je tedy předložená disertační práce zaměřena na rozšíření pravděpodobnostního prostoru na případ fuzzy jevů. Zejména je studována problematika vyjádření pravděpodobností fuzzy jevů, kde jsou nejprve zkoumány případy využívající ostrou pravděpodobnostní míru. V této kategorii je porovnána nejznámější pravděpodobnostní míra, která vyjadřuje pravděpodobnost fuzzy jevu pomocí reálného čísla, s tzv. fuzzy pravděpodobnostmi - fuzzy množinami, jejichž funkce příslušnosti je nějakým způsobem odvozena z pravděpodobností alfa-řezů fuzzy jevů. Následuje definice fuzzy pravděpodobnostní míry. Pravděpodobnosti fuzzy jevů jsou poté rozšířeny na případ fuzzy pravděpodobnostní míry a jsou zanalyzovány jejich vlastnosti. V rámci aplikací těchto pravděpodobností v teorii rozhodování za rizika je práce zaměřena na aparát rozhodovací matice. Její prvky vyjadřují důsledky daných variant za daných stavů světa. Varianty jsou poté porovnávány na základě jejich očekávaných hodnot a rozptylů. Následně jsou uvažovány fuzzy stavy světa a popsány možné přístupy k rozhodovací matici s fuzzy stavy světa. Mezi nimi je popsán také pohled na rozhodovací matici, kdy jsou informace v ní obsažené chápány jako systém bází fuzzy pravidel, a ne jako běžně uvažovaný systém diskrétních náhodných veličin. Na závěr jsou uvedeny a vzájemně srovnány možné přístupy k rozhodovací matici s fuzzy stavy světa, fuzzy důsledky variant a podkladovou fuzzy pravděpodobnostní mírou. Vše je ilustrováno na názorných příkladech.

Abstract:

In economical practice, a random event is often vaguely defined. like e.g. a high inflation rate. It is appropriate to model such indeterminate events by means of tools of fuzzy sets theory. First, the dissertation thesis is focused on the extension of the probability space to the case of fuzzy events. Particularly, it is studied a problem how probabilities of fuzzy events can be expressed where approaches using the crisp probability measure are examined at first. In this category, the most used probability measure, which expresses probability of a fuzzy event by a real number, is compared with so-called fuzzy probabilities, whose membership functions are somehow derived from probabilities of alpha-cuts of fuzzy events. Then, the fuzzy probability measure is defined. After that, the probabilities of fuzzy events are extended to the case of the fuzzy probability measure and their properties are analysed. Within applications of these probabilities in the models of decision making under risk, the thesis is focused on the apparatus of a decision matrix. Its elements express results of particular alternatives under particular states of the world. Then, the alternatives are compared based on their expected values and their variances. After that, the states of the world representing fuzzy events are fuzzified and possible approaches to the decision matrix with fuzzy states of the world are described. Among them, it is also described a view of the decision matrix which understood information contained in it as a fuzzy rule-based system and not as a commonly considered system of discrete random variables. At the end, two possible approaches to the decision matrix with fuzzy states of the world, fuzzy results of alternatives, and underlying fuzzy probability measure are described and compared. Everything is illustrated in examples.

Keywords

Fuzzy jevy, fuzzy pravděpodobnostní míra, fuzzy pravděpodobnostní prostor, fuzzy rozhodovací matice, pravděpodobnosti fuzzy jevů.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 6. 2018

Thesis defence

• Supervisor: RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D.

PALACKÝ UNIVERSITY OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics