Od zobecnění bistabilní rovnice ke sledům na cestě

Mgr. Radim HOŠEK

Advanced ('rigorózní') thesis

From Bistable Equation to Walks in Path-Graphs

Abstract:

Diplomová práce se zabývá bistabilní rovnicí $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} -F'(u)$, pomocí níž lze modelovat dynamiku skupenské přeměny za určité kritické teploty. Vychází z poznatků publikovaných Drábkem a Robinsonem (Pavel Drábek a Stephen B. Robinson: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011), které vysvětlují fenomén pomalé dynamiky. V úvodní kapitole jsou představeny některé známé výsledky, na něž se v~dalších kapitolách navazuje a které se rozvíjí. V kapitole druhé se práce oprostí od fyzikálně motivovaného případu potenciálu se dvěma zdroji a rozkrývá chování modelu i pro potenciály vícezdrojové. Pro popis stacionárních řešení modelu je použito diagramu řešení (v závislosti na parametrech), jehož vlastnosti jsou zkoumány v kapitole třetí. Čtvrtá kapitola potom otevírá problematiku nehladkých potenciálů, které umožňují vznik variet řešení. Výsledek, známý pro nehladký dvouzdrojový potenciál, je zobecňován pro další typy potenciálů. K určování počtu variet stacionárních řešení je formulována ekvivalentní úloha počítání sledů na lineárních grafech (cestách). Rozsáhlá kapitola 5 je věnována rozboru tohoto grafového problému, přičemž odhaluje zajímavá propojení různých oborů matematiky, právě od teorie grafů a kombinatoriky až k teorii aproximací. Shrnutí originálních výsledků v kapitole 6 pak uzavírá celou práci.

Abstract:

This thesis focuses on bistable equation $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} -F'(u)$ that models the dynamics of phase transition at some critical temperature. It is based on work of Drábek and Robinson (Drábek, P. and Robinson, S.B.: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011) that offers an explanation to the phenomenon of slow dynamics. In Chapter 1 we present some known results, that we work with and generalize in the next chapters. In Chapter 2 we abandon the physics motivated case of double-well potential and unravel the behaviour of the model also for multi-well potentials. Solution diagram is used in order to describe the stationary solutions; its properties are examined in Chapter 3. In Chapter 4 we open the issue of non-smooth potentials that enable an existence of manifolds of solutions. This result, known for non-smooth double-well potential, is generalized for potentials of other type. Determining the number of manifolds occurs to be equivalent with determining number of walks in a path graph. Large Chapter 5 is dedicated to analysis of this graph problem, unravelling interesting links between various fields of mathematics, ranging from graph theory and combinatorics to theory of approximations. A short summary of the original results builds Chapter 6.

Keywords

bistabilní rovnice, fázová přeměna, pomalá dynamika, n-well potenciál, vícezdrojový potenciál, variety řešení, kontinua řešení, sledy na cestě, Cayleyova-Hamiltonova věta, Čebyševovy polynomy

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 2. 2014

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Date of defence: 19. 6. 2014

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Matematika - rigorozní řízení / Matematika - rigorozní řízení