Deduktivní metody řešení důkazových planimetrických úloh

Mgr. Vojtěch ZLÁMAL

Doctoral thesis

Proofs in Plane Geometry

Abstract:

Disertační práce se zabývá deduktivními metodami řešení důkazových úloh středoškolské syntetické planimetrie. Jsou zde sumarizovány, kategorizovány a zpracovány poznatky z metodologie řešení úloh uvedeného typu s důrazem na využitelnost v přípravě žáků středních škol na matematické soutěže (Matematická olympiáda, Česko-polsko-slovenské střetnutí aj.). Vlastní text práce je rozdělen do čtyř kapitol. První část práce se věnuje výzkumu současného stavu možností přípravy žáků na řešení důkazových úloh středoškolské planimetrie. Tento výzkum analyzuje nejen způsoby a formy přípravy žáků na úlohy dané problematiky v matematických soutěžích, ale také učební texty dostupné žákům. Druhá část obsahuje rozbor didaktických aspektů využívání systému metod řešení důkazových úloh syntetické planimetrie. Uvedený rozbor se zabývá zejména možnostmi kategorizace úloh a následným převodem této kategorizace do systematické metodologie. V třetí části jsou uvedena vybraná planimetrická tvrzení využitelná při řešení úloh dané problematiky. Tvrzení jsou doplněna důkazy využívajícími prostředky syntetické planimetrie s tím, že tyto důkazy je možno pojmout jako ukázkové úlohy dále uvedených metod. Čtvrtá část obsahuje základní metody řešení důkazových úloh dané problematiky, přičemž je využita kategorizace úloh popsaná v druhé části této práce. Pro jednotlivé kategorie úloh jsou uvedeny základní metody řešení. Každá prezentovaná metoda je vysvětlena v obecné rovině a aplikována na typových úlohách. Uvedené kategorie jsou následně doplněny sadami řešených a neřešených úloh.

Abstract:

The thesis deals with the deductive methods of proof problems solving in the field of synthetic plane geometry at secondary schools. The dissertation is to summarise, categorize and process the methodology findings of solving the above-mentioned plane geometry problems aiming at practical application by secondary school pupils in preparation for mathematical competitions (i.e. Mathematical Olympiad, Czech-Polish-Slovak Mathematical Competition). The content of the thesis is divided into four main chapters. The first chapter explores the current state of possibilities of pupils' preparation for solving the above-mentioned problems. This research analyzes not only forms and strategies but also available study materials. The focus of this analysis is the presence of methods concerning usage of basic geometrical findings in plane geometry proof problems on which is made regarding evaluation. The second part analyses different categorizations of problem-solving strategies from the didactical point of view establishes the most accurate categorization and converts it into a systematic methodology. The third chapter offers a set of plane geometry theorems that can be used for solving the above-mentioned problems. In addition, the theorems are followed by relevant proofs that can be considered as examples of the application of further mentioned problem-solving methods. The fourth part uses the established categorization to expose the basic methods of solving plane geometry proof problems. Each category presents its elementary methods. These methods are described and demonstrated in particular examples. There is a set of solved and unsolved problems for each category.

Keywords

planimetrie, syntetická planimetrie, deduktivní metody, metody řešení, důkazové úlohy, matematická soutěž, střední škola

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 12. 2021

Thesis defence

• Date of defence: 8. 3. 2022
• Supervisor: RNDr. Jaroslav Švrček, CSc., RNDr. Jaroslav Švrček, CSc.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Didactics of Mathematics