Computational Aspects of Problems on Visibility and Disk Graph Representations

Onur Cagirici, M.Sc.

Doctoral thesis

Abstract:

Dizertace se zaměřuje na dva koncepty široce studované v oblasti výpočetní geometrie. Jsou to viditelnostní grafy a grafy jednotkových disků. V oblasti viditelnosti jsme studovali bezkonfliktní barevné hlídání mnohoúhelníků, pro které jsme získali obecný algoritmus používající $O(n \log^2 n)$ bezkonfliktních barev, a normální barvení vrcholů ve viditelnostním grafu mnohoúhelníku, kde jsme získali algoritmus pro 4-barvení jednoduchého mnohoúhelníku. Mimo to jsme dokázali, že stejný problém barvení pro 5 barev je NP-úplný a že 4-barvení je už NP-úplné na viditelnostních grafech mnohoúhelníků s dírami. Poté jsme se posunuli k novému směru vnímání viditelnostních grafů, který uvažuje omezení reálného světa pro aplikace. Přesněji nedovoluje viditelnost na libovolnou vzdálenost, tedy dva velmi vzdálené objekty se nevidí, i když mezi nimi není fyzická překážka. Pro modelování tohoto omezení jsme zavedli jednotkově-diskové viditelnostní grafy a dokázali, že problém 3 barvení je pak už NP-úplný pro takové grafy na množině úseček a na mnohoúhelnících s dírami. Po tomto překlenutí rozdílů mezi viditelnostními a diskovými grafy jsme se zabývali našimi výsledky k problému rozpoznávání grafů jednotkových disků ve zjednodušeném podání s pozicemi disků paralelně k souřadným osám. Dokázali jsme, že takový problém rozpoznání je NP-úplný, pokud jsou dány všechny přímky nesoucí středy disků jako navzájem rovnoběžné. Na druhou stranu je tento problém jen NP-těžký, pokud jsou dané přímky nesoucí středy disků paralelní k oběma souřadným osám (tedy vzájemně rovnoběžné nebo kolmé).

Abstract:

This thesis focuses on two concepts which are widely studied in the field of computational geometry. Namely, visibility and unit disk graphs. In the field of visibility, we have studied the conflict-free chromatic guarding of polygons, for which we have described a polynomial-time algorithm that uses $O(n \log^2 n)$ colors to guard a polygon in a conflict-free setting, and proper coloring of polygon visibility graphs, for which we have described an algorithm that returns a proper 4-coloring for a simple polygon. Besides, we have shown that the 5-colorability problem is NP-complete on visibility graphs of simple polygons, and 4-colorability is NP-complete on visibility graphs of polygons with holes. Then, we move further with the notion of visibility, and define a graph class which considers the real-world limitations for the applications of visibility graphs. That is, no physical object has infinite range, and two objects might not be mutually visible from a certain distance although there are no obstacles in-between. To model this property, we introduce unit disk visibility graphs, and show that the 3-colorability problem is NP-complete for unit disk visibility graphs of a set of line segments, and a polygon with holes. After bridging the gap between the visibility and the unit disk graphs, we then present our results on the recognition of unit disk graphs in a restricted setting -- axes-parallel unit disk graphs. We show that the recognition of unit disk graphs is NP-complete when the disks are centered on pre-given parallel lines. If, on the other hand, the lines are not parallel to one another, the recognition problem is NP-hard even though the pre-given lines are axes-parallel (i.e. any pair is either parallel or perpendicular).

Keywords

viditelnost, NP-úplnost, grafové barvení, grafy jednotkových disků, rozpoznávání visibility, NP-completeness, graph coloring, unit disk graphs, recognition

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 17. 6. 2021

Thesis defence

• Date of defence: 5. 10. 2021
• Supervisor: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.
• Reader: prof. Éric Colin de Verdiére, prof. Birgit Vogtenhuber

Masaryk University

Faculty of Informatics

Doctoral programme / field:
Computer Science / Fundamentals of Computer Science